15. Прямые методы решения слау

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

1. Формальное решение строится по формулам Крамера

2. Метод Гаусса (приведение матрицы к треугольному виду и послед. Нахождения корней) a. Прямой метод b.обратный метод(Жордана - Гаусса)

3. LU разложение это Ax=LUx=f, где U-треугольная матрица приведенная по методу Гаусса. Ux=y, где y это столбец свободных коэфицентов полученный из f методом Гаусса ( ; )

4. Метод квадратного корня (метод Холецкого)

5. Метод с ленточной матрицей (метод прогонки)

6. Сокращённый метод Гаусса

7. Метод Холецкого для симметр. Матриц

16. Итерационные методы решения СЛАУ.

1. Метод Гаусса-Зейделя

2. Метод релаксации (обобщение м. Зейделя)

3. Метод уточнения решения полученного прямым методом

4. Метод плоских вращения (Якоби)

5. Циклический метод Якоби с барьерами (более эффективен в случаях большой размерности)

6. Метод Гивенса

7. Метод обратных итераций

8. Другие двухслойные методы (м. минимальных невязок и поправок, м. скорейшего спуска, м. сопряженных градиентов…)

24. Метод релаксации.

17. Каноническая форма итерационных методов.

Канонический вид одношаговых итерационных методов для решения системы линейных алгебраических уравнений Ax = f

где В_к+1 - квадратная матрица n n ,  _k+1 > 0 - итерационный параметр. В дальнейшем будем использовать следующие согласованные нормы в конечномерном пространстве размерности n:

Итерационный метод сходится, если .

Опр. Величина z_k = x_k - x называется погрешностью решения.

Опр. Если B_k+1 = B и  _k+1 =  то метод называется стационарным

Метод Зейделя

 Метод релаксации

Метод простой итерации

Метод Якоби

18. Метод Холецкого для решения слау.

Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU-разложения матрицы A, в результате чего она приводится к виду A= . Если разложение получено, то как и в методе LU-разложения, решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: и   . Для нахождения коэффициентов матрицы L неизвестные коэффициенты матрицы приравнивают соответствующим элементам матрицы A. Затем последовательно находят требуемые коэффициенты по формулам:

Д остоинства: 1) вдвое меньше выч. затрат 2) симм. матрицы А экономит память 3) гарант. устойчивость