1.3. Формулы логики высказываний. Равносильность формул

Определение 1.2. Формула логики высказываний определяется индуктивно следующим образом:

1. Любая высказывательная переменная, а также константы И, Л есть формула.

2. Если A и B – формулы, то А, AVB, A&B, АB, АB есть формулы.

3. Ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 2, не есть формула.

Две формулы называются равносильными, если на всех одинаковых наборах переменных значения этих формул совпадают.

Равносильность формул A и B будем обозначать следующтм образом: A  B.

Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей формул логики высказываний.

Все законы равносильности, рассмотренные ранее для логики булевых функций, справедливы и для формул логики высказываний, причем единице соответствует истинностное значение И, а нулю – Л. Приведем эти законы.

Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:

1. Коммутативность.

а) A&B B&A (для конъюнкции);

б) AVB  BVA (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) A&(B&C)  (A&C)&C (для конъюнкции);

б) AV(BVC)  (AVB)VC (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) A&(BVC)  A&BVA&C (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) AV(B&C)  (AVB)&(AVC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) (A&B)AVB (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) (AVB) A&B (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а) A&A  A (для конъюнкции);

б) AVA  A (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) A&(AVB)  A (1– ый закон поглощения);

б) AVA&B  A (2– ой закон поглощения).

7. Расщепление (склеивание).

а)A&B V A&(B)  A (1–ый закон расщепления);

б) (AVB) & (AVB)  A (2–ой закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

(A)  A.

9. Свойства констант.

а)A&И  A; б) A&Л  Л; в)AVИ  И; г) AV0  A; д) Л И; е)  Л.

10. Закон противоречия.

A&A  Л.

11. Закон “исключенного третьего”.

AVA  И.

12. AB AVB (A&B).

13. A~B  (AB)&(BA)  (A&B) V (A&B) АVB)&(AVB).

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “”.

Справедливы также обобщенные законы дистрибутивности и обобщенные законы де Моргана:

14. (A₁VA₂V...VA_n)&(B₁VB₂V...VB_m) 

A₁&B₁VA₁&B₂V...VA₁&B_mV...VA_n&B₁VA_n&B₂V...VA_n&B_m.

15. (A₁&A₂&...&A_n)V(B₁&B₂&...&B_m) 

(A₁VB₁)&(A₁VB₂)&...&(A₁VB_m)&...&(A_nVB₁)&(A_nVB₂)&...&(A_nVB_m).

16. (A₁&A₂&...&A_n) A₁VA₂V...VA_n.

17. (A₁VA₂V...VA_n) A₁&A₂&...&A_n

В равносильностях 1 – 17 в качестве A, B, A_i, B_i могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные.

Пример 1.9.

Доказать равносильность формул логики высказываний:

(АB) & (A V B)  B.

Преобразуем левую часть, последовательно используя равносильности 12, 14, 10, 5а, 9г, 6б:

(АB) & (A V B) А V B) & (A V B) А & A V А &B V B & А V B & B  А &B V B &А V B  B.

Равносильность доказана.