Замечательные пределы

Рассмотрим еще некоторые пределы, которые полезно знать.

1. Вспомним замечательный предел

Сделаем в нем "замену переменных" . Тогда при и мы получим

2. Вспомним, что log_a – непрерывная функция. Логарифмируя предыдущее равенство, получим:

Итак,

В частности,

3. В предыдущем соотношении сделаем снова замену переменных . Тогда при получаем

Переворачивая это соотношение, получим

,

В частности,

.

4. Докажем, что

положим .

Тогда при x0 y0. Далее , и логарифмируя это равенство, получим

ln(1+x)=ln(1+y)

Далее имеем

так как оба написанных предела равны 1.

5. Докажем, что при a>1 и при >0

а) Докажем сначала, что при a>1 . Действительно, обозначим a=1+, >0. Пользуясь формулами бинома Ньютона, получим

.

Поэтому , ,

т.е. .

б) Возьмем произвольное x+ и обозначим n=[x], т.е. целая часть от x. Тогда n  x  n+1 и получаем

,

так что . Поэтому .

в) Наконец, при произвольном >0 имеем

6. Докажем, что при >0 и a>1

Действительно, делая замену переменных log_a(x)=y, x=a^y, получим, что при x, y

7. Докажем, что при >0 и a>1

Действительно, делая замену переменных

Типы неопределенных выражений

При решении различных практических задач большую роль играют так называемые неопределенные выражения или, коротко, неопределенности. Рассмотрим основные их типы.

Пусть имеются две функции u(x) и v(x).

1. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Процесс вычисления этого предела называется "раскрытием неопределенности". Разумеется, что формула здесь неприменима. так как

2. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа .

3. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Разумеется, и здесь нельзя пользоваться формулой

Степенные неопределенности.

Рассмотрим теперь предел вида .

Так как , то, пользуясь непрерывностью функции e^x, можно записать

.

Это можно сформулировать в виде следующего правила: для вычисления предела выражения вида u(x)^v(x) надо это выражение сначала прологарифмировать.

Какие же неопределенности могут иметь здесь место? Так как приходится вычислять lim[u(x)v(x)], а здесь возможна только неопределенность типа , то возможны следующие варианты.

4. . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа .

5. . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 0⁰.

6. . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 1^.