Обратная функция. Теорема о существовании обратной функции у монотонной функции

Определение.Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке <a,b>, значения которой принадлежат некоторому отрезку <c,d>. Если

,

то говорят, что на отрезке <c,d> определена функция, обратная к функции f(x) и обозначают это так:x=f^(-1)(y).

Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка <c,d> сплошь. В определении f^(-1)(…) стоит квантор , т.е. значение х, обеспечивающее равенство y=f(x), должно быть единственным, в то время как в определении заполненности отрезка<c,d> сплошь стоит квантор , что говорит о том, что может быть несколько значений х, удовлетворяющих равенству y=f(x).

Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x(xy) и пишут y=f^(-1)(x). Очевидно, что исходная функция f(x) и обратная функция f^(-1)(x) удовлетворяют соотношению

f^(-1)(f(x))=f(f^(-1)(x))=x.

Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.

Теорема. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [f(a),f(b)] определена обратная функция f^(-1)(x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).

Доказательство.

Докажем теорему для случая, когда f(x) строго монотонно возрастает.

1. Существование обратной функции.

Так как по условию теоремы f(x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок [f(a),f(b)] заполнен сплошь. Это означает, что .

Докажем, что х единственно. Действительно, если взять х’>x, то будет f(x’)>f(x)=y и поэтому f(x’)>y. Если взять х’’<x, то будет f(x’’)<f(x)=y и поэтому f(x’’)<y. В обоих случаях f(x) y и поэтому x единственно. Следовательно, х=f^(-1)(y) и f^(-1)(…) существует.

2. Монотонность обратной функции.

Сделаем обычную замены xy и будем писать y= f^(-1)(x). Это значит, что x=f(y).

Пусть x₁>x₂. Тогда:

y₁= f^(-1)(x₁); x₁=f(y₁)

y₂= f^(-1)(x₂); x₂=f(y₂)

Какое же соотношение между y₁ и y₂? Проверим возможные варианты.

а) y₁<y₂? Но тогда f(y₁)<f(y₂) и x₁<x₂, а у нас было x₁>x₂.

б) y₁=y₂? Но тогда f(y₁)=f(y₂) и x₁=x₂, а у нас было x₁>x₂.

в) Остается единственный вариант y₁>y₂, т.е. Но тогда f^(-1)(x₁)>f^(-1)(x₂), а это и означает, что f^(-1)(…) строго монотонно возрастает.

3. Непрерывность обратной функции.

Т.к. значения обратной функции заполняют сплошь отрезок [a,b], то по предыдущей теоремеf^(-1)(…) непрерывна. 

Непрерывность элементарных функций

Разумеется, имеется бесконечно много разных функций. Однако среди них выделяется класс элементарных функций. К ним относятся:

а) степенная функция у=xⁿ;

б) показательная функция у=a^x;

в) логарифмическая функция у=log_a(x);

г) гиперболические функции sh(x), ch(x), th(x);

д) тригонометрические функции sin(x), cos(x), tg(x);

е) обратные тригонометрические функции arc sin(x), arc cos(x), arc tg(x).

Всевозможные суперпозиции этих функций также называются элементарными.

Далее небольшой обзор свойств этих функций, особо обращая внимание на их непрерывность.

Степенная функция.

Функция y=x^, где  – произвольное вещественное число, называется степенной функцией. В общем случае считается, что она определена для x>0, хотя при некоторых частных значениях (например, когда целое число) она имеет смысл и при x<0.

Графики этой функции имеют различный вид при разных 

а) 0<<1

В этом случае y=x^ определена для x 0. Она является строго монотонно возрастающей функцией и непрерывна для всех x 0.

б) >1

В этом случае y=x^ определена для x 0. Она является строго монотонно возрастающей функцией и непрерывна для всех x 0.

б) <0

В этом случае y=x^ определена для всех x>0 и . Она является строго монотонно убывающей функцией и непрерывна для всех x>0.

Показательная функция.

Функция y=a^x называется показательной функцией. Число a является произвольным положительным вещественным числом, т.е. a>0. Функция определена и непрерывна для всех вещественных х. Ее графики имеют различный вид в зависимости от значения а.

При a>1 y=a^x строго монотонно возрастает.

При 0<a<1 y=a^x строго монотонно убывает.

Математики особенно "любят" функцию y=e^x, т.е. показательную функцию при а=е. Ее называют экспоненциальной функцией, или просто экспонентой.

Основным свойством показательной функции является следующее свойство:

Можно показать, что среди непрерывных функций показательная функция – единственная функция, удовлетворяющая свойству f(x₁+x₂)=f(x₁)f(x₂).

Следствием этого свойства является следующее: (a^x)^=a^x

Гиперболические функции.

С функцией e^x тесно связаны функции, получившие название гиперболических. К ним относятся:

гиперболический синус

гиперболический косинус

гиперболический тангенс

Рассмотрим коротко свойства этих функций.

1. Область определения этих функций -<x<+

2. sh(-x)= –sh(x)

th(-x)= –th(x)

ch(-x)= ch(x)

т.е. sh(x) и th(x) являются нечетными функциями, а ch(x) – четной функцией. Графики их изображены на рисунках.

3. sh(h), ch(x), и th(x) непрерывны для всех х.

4. sh(x) и th(x) монотонно возрастают.

5. Выведем основные формулы, касающиеся этих функций, и очень напоминающие формулы тригонометрии.

а) ch²(x)-sh²(x)=1

Действительно,

б)

Вывод этой формулы надо вести с правой части. Имеем:

в)

Аналогично имеем:

Можно вывести и много других формул, аналогичных формулам геометрии.

Логарифмическая функция.

Функция, обратная a^x, называется логарифмической функцией, и обозначается log_ax. Ее свойства получаются как следствия свойств функции a^x.

а)

1. Так как. значения a^x(0; +), то log_ax определена для 0<x<+.

2. Так как a^x строго монотонно возрастает, то log_ax тоже строго монотонно возрастает.

3. Так как a^x строго непрерывна, то и log_ax тоже непрерывна.

4. 

log_ex называется натуральным логарифмом и обозначается ln(x).

б)

1. log _ax определена для 0<x<+.

2. log _ax строго монотонно убывает.

3. log _ax непрерывна.

4. 

Основное свойство логарифмической функции имеет вид:

Можно показать, что log_ax – единственная непрерывная функция, удовлетворяющая свойству .

Другие важные формулы, касающиеся логарифмической функции

а)

б)

Тригонометрические функции.

Т.к. эти функции подробно изучаются в школе, то напоминать их свойства мы не будем. Укажем лишь, что sinus(x) и cos(x) непрерывны для всех x, а имеет разрывы второго рода в точках, где cos(x)=0, т.е. в точках

Обратные тригонометрические функции.

arc sin(x)

Рассмотрим график функции у=sin(x) и на этом графике рассмотрим лишь участок .

Функция, обратная к sin(x), только на этом участке называется главной ветвью arcsin x. Именно ее мы и будем изучать.

1. Так как –1  sin x  +1, то arcsinx определен для –1  x  +1.

2. Так как на выделенном участке sin x строго монотонно возрастает, то arcsin x тоже строго монотонно возрастает.

3. Так как sin x непрерывна, то и arcsin x тоже непрерывна.

4. 

5. 

arc cos(x)

Выделим на графике функции у=cos(x) участок 0 x  . Функцию, обратную к cos x именно на этом участке будем называть главной ветвью arc cos x и именно ее будем изучать и использовать.

1. Так как –1  cos x  +1, то arccos x определен для –1  x  +1.

2. Так как на выделенном участке cos x строго монотонно убывает, то arccos x тоже строго монотонно убывает.

3. Так как на выделенном участке cos x непрерывна, то arccos x тоже непрерывна.

4. 

arc tg(x)

На графике функции у=tg(x) выделим лишь участок . Функцию, обратную к tg x именно на этом участке будем называть главной ветвью arctg x.

1. arctg x определен для – < x < +.

2. Так как на выделенном участке tg x строго монотонно возрастает, то arctg x тоже строго монотонно возрастает.

3. Так как на выделенном участке tg x непрерывна, то и arctg x тоже непрерывна.

4. arctg(-x)=-arctg(x)

5.