Вопрос 10.

Понятие минора и алгебраического дополнения.

Пусть задан опред.d

Выберем произвольное число k, удовлетвор условию 1

В определителе зафиксируем произвольные k строки столбцов и на пересечении выбранных k строк и k столбцов стоит эл.,кот.образуют матрицу порядка k. Опред.этой матрицы – минор порядка опред.d и обозначается Мk.

Минор kтого – опред., полученных из d после вычеркивания n-k строк и n-k столбцов. Если в опред. удалить 1строчку и 1столбец, то получится минор порядка n-k, каждый эл.опред.есть минор первого порядка.

Пусть в опред.порядка n взят минор порядка k. Если из опред.удалить те строки и столбцы, где располагается выбранный минор, получим доп.минор порядка n-k, кот.называется доп.минор – М’(n-k).

М и М’ – взаимодополнительные миноры.

Если взять любой эл.опред.//aij и удалить iстроку и jстолбец, то полученный опред.будет дополнительным минором, а пара aij и этот минор составляют взимодополнительную пару минора.

Обозначим Sм = i1+i2…ik+j1+j2…jk

Алгебраическим дополнением минора М называется его доп.минор, взятый со знаком + или – в зависимости от четности/нечетности суммы Sм. Ам = * М’(n-k)

Теорема1: произведение любого минора М kого порядка на его опред.d является алг.суммой, слагаемые кот.получается от умножения члена минора М на взятые со знаком члены минора М’. Эти члены – члены опред., причем их знак и в сумме совпадает с теми знаками, с кот.они входят в состав опред. Пусть минор М располагается в первых k строках и столбцах нашего опред.

Пусть минор М располагается в первых k строках и столбцах нашего определителя.

Sм = 1+2+…+k+1+2+…+k=2(1+2+…+k)

И при любом значении k это число четное, поэтому алг.доп. минора М является доп. минор М’. Выберем правильный член минора М.

1. Его знак в миноре М бедет определяться членом , l – это число инверсий в подстановке.

2. Рассмотрим доп.минор М’

и выпишем произвольный член минора.

(3)

В этом миноре данный член имеет знак , где l’ – число инверсий в (4) рассмотрим число произведений элементов=произведению 1 и 3

(5)

Элементы произведения расположены в разных строчках и столбцах опредd! Очевидно, это произведение – его член. Знак числа 5 в произведении М*М’ будет произведением знаков * , т.е.

Такой же знак имеет произведение 5 в опред.d, т.к. нижняя строчка подстановки из индексов этого произведения содержит l+l’ инверсий, т.к. никакое α не может составлять инверсии ни с каким β, ведь α , а все β

Чтд(для частного случая)

Рассмотрим общий случай. Пусть минор М’ располагается в строках с номерами i1i2… и столбцах j1j2…причем данные последовательности номеров удовлетворяют i1<i2<ik, j1<j2<jk. Переместим минор М’ в первый верхний угол, т.е. первые k строк и столбцов. 2 этапа!

1.Переместим минор М в первые k строк. При этом строку с номером i1 меняем с i1-1, затем со строкой i1-2 и тд. До тех пор пока строка i1 не займет место первой строки. При этом строчку с номером i1 мы переставили (i1-1)раз. Далее строку с номером i2 переставляем с предыдущими, пока она не займет строки с номером 2; (i1-2)раза и тд., довершая эту процедуру до тех пор пока строка с номером ik не займет место kтой строки. При этом строку с номером ik нужно переставить (ik-k)раз. Общее число транспозиций на 1ом этапе: (i1-1)+(i2-2)+…=(i1+i2+…+ik)-(1+2+…+k). После преобразований получим опред.d’, в кот.минор М будет занимать первые k строк.

2.переместим минор в первые k столбцов. При этом столбец с номером j1 будет меняться со всеми предшествующими номерами пока не займет место 1ого столбца. Очевидно, что при таком преобразовании все столбцы будут представлены местами (j1+j2+…+k)-(1+2+…+k)раз. После преобразования получим опред.d’’, в кот.минор М будет занимать левый верхний угол. Т.к. каждый раз переставлялись средние строки или столбцы, то взаимное расположение доп.минора М’остается без изменения => минор М’ – доп.к минору М в опред.d’’. И , очевидно, минор М’ в опред.d’’ располагается в правом нижнем углу. На основании данной выше теоремы: (М * М’) – сумма колич.членов,опред.d’’, взятых с теми же знаками с какими они входят в d! (i1+…+ik) + (j1 + …+jk) – 2(1+2+…k)

Sм + всегда четное => не влияет на знак * М * М’ состоит из некот.колва членов опред.d , взятых с теми же знаками, какие они имеют в этом опред. чтд

*замечание: если миноры М и М’ взаимодоп., то числа Sм и Sм’ имеют одинаковую четность.