92.Дати визначення допустимого плану. Область існування планів,оптимальний план
(3.1)
за умов:
(3.2)
(3.3)
Вектор Х = (х1, х2, …, хn), координати якого задовольняють систему обмежень (3.2) та умови невід’ємності змінних (3.3), називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.
Сукупність точок (розв’язків) називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) задачі лінйного програмування. Це може бути точка (єдиний розв’язок), відрізок, промінь, багатокутник, необмежена багатокутна область.
Опорний план , за якого цільова функція (3.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.
93. Цілочислове програмування. Визначення оптимального плану для цілочислової моделі графічним методом на площині.
Існує доволі широке коло задач математичного програмування, в економіко-математичних моделях яких одна або кілька змінних мають набувати цілих значень. До них належать задачі, у яких змінні означають кількість одиниць неділимої продукції. Наприклад, коли йдеться про кількість верстатів у цеху, тварин у сільському господарських підприємствах тощо.Наведені задачі називаються задачами цілочислового програмування. До цілочислового програмування належать також задачі оптимізації, в яких змінні набувають лише двох значень – 0 або 1.
З
адача
цілочислового програмування формується
так само, як і задача лінійного
програмування, але включає додаткову
вимогу, яка полягає в такому: змінні,
які становлять оптимальний розв’язок,
мають бути цілими невід’ємними числами.
→min(max) при обмеженнях: хj – цілі числа ( ) Параметри , , ( ) вважаються цілими числами.
Для знаходження оптимального розв’язку цілочислових задач застосовують спеціальні методи. Найпростішим з них є знаходження оптимального розв’язку задачі як такої, що має лише неперервні змінні, з дальшим їх округленням. Такий підхід є виправданим тоді, коли змінні в оптимальному плані набувають досить великих значень у зіставленні їх з одиницями вимірювання. Проте за деяких умов такі спрощення призводять до істотних неточностей. Скажімо, множина допустимих розв’язків деякої нецільової задачі лінійного програмування має такий вигляд:
Зауважимо, що геометрично множина допустимих планів будь-якої лінійної цілочислової задачі являє собою систему точок з цілочисловими координатами, що знаходяться всередині опуклого багатокутника допустимих розв’язків відповідної не цілочислової задачі. Отже для розглянутого на рисунку випадку множина допустимих планів складається з 9 точок, які утворені перетинами сім’ї прямих, що паралельні осям Ох1 та Ох2 і проходять через точки з цілими координатами 0, 1, 2. Для знаходження цілочислового оптимального розв’язку пряму, що відповідає цільовій функції, пересуваємо у напрямку вектора нормалі до перетину з кутовою точкою утвореної цільової сітки. Координати цієї точки і є оптимальним цілочисловим роз’язком задачі. Отже, точка М(2;2) – цілочисловий розв’язок данної задачі.
Очевидно, особливість геометричної інтерпретації цілочислової задачі у зіставленні зі звичайною задачею лінійного програмування полягає лише у визначенні множини допустимих розв’язків. Областю допустимих розв’язків загальної задачі лінійного програмування є опуклий багатокутник, а вимога цілочисловості розв’язку призводить до такої множини допустимих розв’язків, яка є дискретною і утворюється тільки з окремих точок. Якщо у разі 2 змінних розв’язок задачі можна відшукати графічним методом, тобто, використовуючи цілочислову сітку, можна досить просто знайти оптимальний план, то в іншому разі необхідно застосовувати спеціальні методи.