88. Градієнтний метод Франка-Вульфа
.Розглянемо метод Франка — Вульфа, процедура якого передбачає визначення оптимального плану задачі шляхом перебору розв’язків, які є допустимими планами задачі.
Нехай необхідно відшукати
за лінійних обмежень: ;
Допустимо, що Х0 — початкова точка, що належить множині допустимих планів даної задачі. В деякому околі цієї точки нелінійну цільову функцію замінюють лінійною і потім розв’язують задачу лінійного програмування. Нехай розв’язок лінійної задачі дав значення цільової функції F0, тоді з точки Х0 в напрямку F0 необхідно рухатись доти, поки не припиниться зростання цільової функції. Тобто у зазначеному напрямку вибирають наступну точку Х1, цільова функція знову замінюється на лінійну, і знову розв’язується задача лінійного програмування.
Розглянемо детальніше перехід від k-ої ітерації методу до (k + 1)-ої ітерації.
Припустимо, що відома точка Xk, яка належить області допустимих розв’язків. У даній точці обчислюємо градієнт цільової функції:
.Значення градієнта функції задає в даній точці напрям найшвидшого її зростання.
Замінюємо цільову функцію задачі лінійною функцією виду:
.Потім розв’язуємо задачу лінійного програмування з обмеженнями початкової задачі і новою цільовою функцією:
за умов: ; .
Нехай розв’язком такої задачі є точка .З початкової точки в напрямку рухаємося з деяким довільним кроком , визначаючи координати нової точки у такий спосіб:
89. Метод приведеного градієнта(метод Якобі).
Формули
Тейлора для для точки
функції f(x) та q(x)
Метод Якобі застосовується у випадках, коли слід дослідити f(x) →min(max), де х=(х1,х2,…хn) при обмеженнях q(x)=0, де q=(q1,q2…qm).
Послідовність дослідження функції на екстремум за методом Якобі:
f(x)→max(min),
1)q(x)=0, q(x)=(q1(x), q2(x)…qm(x))
2) розбиваємо х на у і z
3)знаходимо матрицю Якобі і управляючу матрицю
4) знаходиться добуток J-1 *С
5) знаходиться стаціонарна точка
і
значення х підставляється у рівняння
6) якщо <0, то максимум, а якщо >0, то мінімум.
Використання формули Тейлора:
90 Загальні форми запису лінійних оптимізаційних задач
Задачу лінійного програмування зручно записувати за допомогою знака суми «». Справді, задачу (3.1)-(3.3) можна подати так:
за умов: 
(3.4)Ще
компактнішим є запис задачі лінійного
програмування у векторно-матричному
вигляді:
max(min) Z = CX за умов:
АХ = А0; (3.5) Х ≥ 0, ;Де
є
матрицею коефіцієнтів при змінних;
— вектор змінних;
— вектор вільних членів;
С = (с1, с2, …, сп) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції. Часто задачу лінійного програмування зручно записувати у векторній формі:
max(min)Z = CX за умов: A1x1 + A2x2 + … + Anxn = A0; (3.6) X ≥0,
де
є векторами коефіцієнтів при змінних.