62. Визначення мін(макс) для цільової функції
Щоб
знайти максимум(мінімум) для цільової
функції будуємо пряму, перпендикулярну
до вектора
.
Потім рухаючи пряму в напрямку вектора
(для задачі максимізації) або в
протилежному напрямі (для задачі
мінімізації), знаходимо вершину
багатокутника розв’язків, де цільова
функція набирає екстремального значення.
Після чого визначаємо координати точки,
в якій цільова функція набирає
максимального (мінімального) значення,
і обчислюємо екстремальне значення
цільової функції в цій точці.
63.
Визначення розв’язку 
*=
(
),
λ*= 
,
,…
для стаціонарної точки для нелінійної
оптимізаційної задачі.
Розглянемо метод множників Лагранжа для розв’язування задачі нелінійного програмування, що має вигляд:
(1)
за умов:
, (2)
де функції і мають бути диференційовними.
Задача (1), (2) полягає в знаходженні екстремуму функції за умов виконання обмежень .
Переходимо до задачі пошуку безумовного екстремуму.
Замінюємо цільову функцію (1) на складнішу. Ця функція називається функцією Лагранжа і має такий вигляд:
(3)
де — деякі невідомі величини, що називаються множниками Лагранжа.
Знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:
(4)
Друга група рівнянь системи (4) забезпечує виконання умов (2) початкової задачі нелінійного програмування.
Система (4), як правило, нелінійна.
Розв’язками її є і — стаціонарні точки. Оскільки, ці розв’язки отримані з необхідної умови екстремуму, то вони визначають максимум, мінімум задачі (1), (2) або можуть бути точками перегину (сідловими точками).
Для діагностування стаціонарних точок і визначення типу екстремуму необхідно перевірити виконання достатніх умов екстремуму, тобто дослідити в околі стаціонарних точок диференціали другого порядку (якщо для функцій існують другі частинні похідні і вони неперервні).
Розглянемо ознаки виду екстремуму розв’язку системи (4). Нехай стаціонарна точка має координати і .
1. Точка є точкою максимуму, якщо, починаючи з головного мінору порядку (m + 1), наступні (n – m) головних мінорів матриці Н утворюють знакозмінний числовий ряд, знак першого члена якого визначається множником .
2. Точка є точкою мінімуму, якщо, починаючи з головного мінору порядку (m + 1), знак наступних (n – m) головних мінорів матриці Н визначається множником .
64 Записати математичну модель оцінки рентабельності виготовленої продукції
Оцінку рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, можна здійснювати за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний вид продукції. Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю відповідних ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (сj), то виготовляти таку продукцію невигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна хj = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна хj > 0.Підставимо значення оптимального плану двоїстої задачі Y* у її систему обмежень. Якщо вартість ресурсів на виробництво одиниці продукції (ліва частина обмеження) перевищує ціну цієї продукції (права частина обмеження), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.