36. Симплексний метод. Вибір напрямного стовпчика і рядка при здійсненні ітерації.

Симплекс-метод — це поетапна обчислювальна процедура, в основу якої покладено принцип послідовного поліп­шення значень цільової функції переходом від одного опорного плану задачі лінійного програмування до іншого.

Перехід від одного опорного плану до іншого виконується зміною базису, тобто виключенням з нього деякої змінної та введенням замість неї нової з числа вільних змінних задачі.

Змінна, яка включається до нового базису, відповідає тій оцін­ці , що не задовольняє умову оптимальності. Якщо таких оцінок кілька, серед них вибирають найбільшу за абсолютною величиною і відповідну їй змінну вводять до базису. Припустимо, що індекс зазначеної змінної j = k. Відповідний стовпчик симплексної таблиці називають напрямним.

Для визначення змінної, що має бути виключена з базису, знаходять для всіх додатних aik напрямного стовпчика величину . Вибирають найменше значення θ, яке вказує на змінну, що виводиться з базису. Припустимо, що це виконується для . Відповідний рядок симплексної таблиці називатиметься напрямним.

37. Загальний запис нелінійної оптимізаційної моделі.

Цільова функція та система обмежень. Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:

за умов: ( ); .

Геометрично цільова функція визначає деяку поверхню, а обмеження — допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору.

39. Метод штучного базису. Суть базису.

Метод штучного базису застосовується в тих випадках, коли для канонічної форми задачі ЛП не означений початковий опорний план. Тоді симплекс-методом розв’язується перетворена задача зі штучним базисом. Вона утворюється з початкової задачі додаванням до лівої частини векторного рівняння-обмеження стількох штучних одиничних векторів з відповідними невід’ємними штучними змінними, щоб створена матриця містила систему т одиничних, лінійно-незалежних векторів. В цільову функцію початкової задачі додається складова, яка дорівнює добутку суми штучних змінних на число (-М), в разі максимізації Z, або +М, в разі мінімізації Z, де М - досить велике число. Якщо в оптимальному плані задачі зі штучним базисом усі штучні змінні дорівнюють нулю, то відповідний опорний план є оптимальним планом початкової задачі. Якщо оптимальний план задачі зі штучним базисом містить хоч одну штучну змінну або задача нерозв’язна, то початкова задача також не має розв'язків.

40. Окантована матриця Гессе та її побудова.

У випадку оптимізації з додатковими умовами виникає поняття обрамленої матриці Гессе. Нехай знову маємо функцію: але тепер також розглянемо умови: . При оптимізації функції f з додатковими умовами обрамлена матриця Гессе має вигляд:

№ 41 Основні властивості розв’язків задач програмування

Властивості розв’язків задачі лінійного програмування формулюються у вигляді чотирьох теорем (доведення теорем та їх наслідки наведено нижче).

Властивість 1. (Теорема 2.2) Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Властивість 2. (Теорема 2.3) Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатогранника розв’яз­ків. Якщо ж цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.

Властивість 3. (Теорема 2.4) Якщо відомо, що система векторів A1, A2, …, Ak (k ≤ n) у розкладі A1x1 +A2x2 + … + Anxn = A0, X ≥ 0 лінійно незалежна і така, що

A1x1 + A2x2 + … + Akxk = A0,

де всі xj ≥ 0, то точка X = (x1, x2, …, xk, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Властивість 4. (Теорема 2.5) Якщо X = (x1, x2, …, xn) — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі A1x1 + + A2x2 + … + Anxn = A0, X ≥ 0, що відповідають додатним xj, є лінійно незалежними.

Теорема 2.2. Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Теорема 2.3. Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин багатогранника розв’язків. Якщо цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.Теорема 2.4. Якщо відомо, що система векторів (k ≤ n) у розкладі , лінійно незалежна і така, що

,

де всі xj ≥ 0, то точка X = (x1, x2, …, xk, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Теорема 2.5. Якщо — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі , , що відповідають додатним , є лінійно незалежними.

№ 42 Геометрична інтепретація задачі нелінійного програмування на площині. Нелінійна цільова функція і лінійні обмеження.

(8.1)

за умов:

( );(8.2) . (8.3)Геометрично цільова функція (8.1) визначає деяку поверхню, а обмеження (8.2)—(8.3) — допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору.

Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня.

Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує.

Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.

Розглянемо приклад геометричного способу розв’язування задачі нелінійного програмування.

Знайти мінімальне і максимальне значення функції:

за умов: .

Розв’язання. Область допустимих розв’язків утворює чотирикутник АВСD (рис. 8.1). Геомет­рично цільова функція являє собою коло з центром у точці М (2; 2), квадрат радіуса якого . Це означає, що її значення буде збільшуватися (зменшуватися) зі збільшенням (зменшенням) радіуса кола. Проведемо з точки М кола різних радіусів. Функція Z має два локальних мак­симуми: точки В (0; 6) і С (8; 0). Обчислимо значення функціонала в цих точках:

, .

Оскільки , то точка С (8; 0) є точкою глобального максимуму.

Очевидно, що найменший радіус , тоді:

Тобто точка М є точкою мінімуму, оскільки їй відповідає найменше можливе значення цільової функції.

Зазначимо, що в даному разі точка, яка відповідає оптимальному плану задачі (мінімальному значенню функціонала), знаходиться всередині багатокутника допустимих розв’язків, що в задачах лінійного програмування неможливо.