2. Формула Стокса.
Для ламинарного режима ( ) и шарообразной формы тела аналитическая формула для силы сопротивления получена ученым Стоксом и носит название формулы Стокса:
, (1)
где
-
коэффициент динамической вязкости
среды;
- радиус шара;
- его скорость относительно потока
среды. Итак, формула, или закон, Стокса
получена для медленного поступательного
движения шара в неограниченной вязкой
среде. Законом Стокса пользуются в
коллоидной химии, молекулярной физике,
физике аэрозолей. По закону Стокса можно
определить скорость осаждения мелких
капель тумана, частиц ила, коллоидных
и аэрозольных частиц. Условие его
применения:
.
Определим предельную скорость при падении частицы, если сила сопротивления определяется формулой Стокса.
Сила
тяжести равна
,
где
-
объем и плотность материала частицы;
подъемная сила равна
,
где
-
плотность среды. Подъемная сила и сила
сопротивления направлены противоположно
скорости падения, а для установившегося
движения сумма всех действующих сил
равна нулю. Отсюда
.
Подставив
выражение для объема частицы
,
получим
. (2)
Если речь идет о падении шарика в воздухе, то плотностью воздуха можно пренебречь по сравнению с плотностью материала шарика, однако при падении в более плотных средах (например, в воде) формулу (10) следует использовать в полном виде. Порядки величин динамической вязкости для разных сред таковы:
Среда |
, мПа·с |
Воздух |
0.0182 |
Вода |
1.002 |
Глицерин |
1480 |
Оценки показывают, что при расчете скорости падения в воздухе формула Стокса справедлива лишь для частиц микронных размеров.
3. Сила гидравлического сопротивления.
В другом предельном случае (турбулентный режим) - - также получена эмпирическая формула для силы сопротивления движению. Она носит название силы гидравлического сопротивления.
. (3)
Здесь
-
безразмерный коэффициент, зависящий
от формы тела;
-
наибольшее сечение тела в плоскости,
перпендикулярной потоку, [
];
-
плотность среды, [
];
-
относительная скорость движения тела
в среде, [
].
Приближенные значения коэффициента для тел различной формы:
Тело |
|
Плоская платина, перпендикулярная потоку |
1.11 |
Открытая полусфера отверстием навстречу потоку |
1.33 |
Открытая полусфера отверстием по потоку |
0.35 |
Шар |
0.20 |
Хорошо обтекаемое тело |
0.05 |
Получим формулу для предельной скорости при падении тела, если для учета сопротивления движению используется формула гидравлического сопротивления. При установившемся движении равнодействующая всех действующих на тело сил равна нулю, откуда следует
,
и
. (4)
Пренебрегать
плотностью среды в числителе формулы
(4) можно только в случае газовых сред,
когда
,
но для движения массивного тела, например,
в воде такое пренебрежение приведет к
ощутимой ошибке. Оценки показывают, что
применение формулы гидравлического
сопротивления справедливо для расчета
движения реальных макроскопических
тел в реальных средах.