Двойные ряды

1. Определение двойного ряда

Пусть двойная последовательность.

Элементы этой последовательности можно записать в виде бесконечной таблицы:

.

Под двойным рядом будем понимать следующую формальную запись: (1).

Образуем двойную последовательность частичных сумм Определим понятие предела двойной последовательности:

если

Ряд (1) называется сходящимся к числу S, если В противном случае ряд расходится.

(1)Лемма (необходимое условие сходимости). Если ряд (1) – сходится, то

Доказательство.

Доказано.

Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)

Задача. Если то будет ли последовательность ограниченной?

Не будет. Рассмотрим, например, таблицу: .

но неограниченная,

2. Повторные ряды

(2) Двойной ряд сходится, если конечная следующая сумма

(3) Двойной ряд сходится, если конечная следующая сумма

Перестановки последовательности

Т.к. элементы последовательности образуют счётное множество, то их можно занумеровать с помощью натуральных чисел бесконечно многими способами. Каждому способу будет соответствовать свой числовой ряд. Все эти ряда по отношению друг к другу являются перестановками. Будем говорить, что двойной ряд сходится в смысле определения (4), если сходится некоторая его перестановка. Напомним, что счётное множество – это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N.

(4) Разные перестановки сходятся к разным числам.

Будем говорить, что двойной ряд сходится абсолютно в смысле определений 1-4, если сходится ряд из модулей в смысле этих определений.

Основная теорема. Если двойной ряд сходится абсолютно в смысле хотя бы одного из четырёх определений, то он будет сходится и в смысле всех других определений и к той же сумме (в смысле определения (4) при любой перестановке).

Задача 1. Исследовать сходимость двойного ряда

Составим бесконечную таблицу

Будем нумеровать по диагонали

Возьмём частичную сумму

если то ряд сходится; в остальных случаях ряд расходится.

Так ряд сходится при

Задача 2. Исследовать сходимость ряда, для которого

Сходится в смысле определения (1) к единице. Двойной ряд в смысле определений (2) и (3) является расходящимся. Любая перестановка этого ряда также будет расходящейся, т.к. общий не будет стремиться к нулю и не будет ограниченным.

Задача 3. Исследовать сходимость ряда, для которого

.

Ряд в смысле определения (4) является расходящимся.

Рассмотрим ряд в смысле определений (2) и (3).

Оба повторных ряда сходятся к нулю.

В смысле определения (4) для некоторой перестановки ряд будет расходящимся.

Рассмотрим перестановку сходится к нулю.

Задача 4. Придумать такую таблицу, для которой оба повторных ряда сходятся, но к разным суммам.

Задача 5. Исследовать сходимость ряда

Бесконечные произведения

1. Определение бесконечного произведения

Пусть положительная последовательность, т.е. .

Формальная запись (1) называется бесконечным произведением.

Будем говорить, что бесконечное произведение (1) – сходится, если где последовательность частичных произведений. В противном случае произведение (1) – расходится.

Основная теорема. Бесконечное произведение (1) – сходится сходится (2).

Доказательство. (1) – сходится

(2) – сходится.

Доказано.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Получаем сходится условно.

Исходный ряд сходится условно.

Бесконечное произведение (1) назовём абсолютно сходящимся, если сходится ряд . В противном случае (1) сходится условно. В предыдущем примере представлено условно сходящееся бесконечное произведение.