Ряды с членами произвольного знака
ряд
с положительными членами (2)
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).
Признак абсолютной сходимости
Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Доказательство. Основано на применении критерия Коши.
Ряд (2) – сходится
(по критерию Коши) 
(по критерию Коши) ряд (1) – сходится. Доказано.
Сходящийся ряд (1) называют условно сходящимся, если он абсолютно расходится.
Существуют условно сходящиеся ряды.
Рассмотрим класс
знакочередующихся рядов:
(3).
Признак Лейбница.
Если для ряда (3) выполнены условия:
невозрастающая;
то ряд (3) сходится
и справедлива оценка остатка
Доказательство.
Рассмотрим
т.е.
неубывающая.
С другой стороны
Итак,
последовательность
неубывающая
и ограниченная сверху и
.
Для последовательности частичных сумм
с нечётными номерами
Значит,
Остаётся оценить
остаток:
Доказано.
Пример.
расходится
Исходный ряд сходится условно.
Лекция №5 Ряды вида
Преобразование Абеля
Пусть дан ряд (1).
Введём преобразования Абеля
Доказательство.
Доказано.
С помощью преобразования Абеля доказываются следующие признаки сходимости ряда (1).
Признак Дирихле.
Если
невозрастающая
и стремится к нулю
;
ограниченная,
то ряд (1) – сходится.
Доказательство. Воспользуемся критерием Коши и будем оценивать суммы:
(по
преобразованию Абеля)
и
по критерию Коши ряд (1) сходится.
Доказано.
Признак Абеля.
Если
монотонная и ограниченная;
сходится,
то ряд (1) – сходится.
Доказательство аналогично доказательству признака Дирихле.
Частным случаем признака Дирихле является признак Абеля.
Если
монотонно
убывает и стремится к нулю, то
сходится
(2).
ограниченные,
значит ряд (2) сходится.
Рассмотрим ряд
Оценим суммы
Справедливы оценки
и
по признаку Дирихле ряд сходится.
Задача. Исследовать
на сходимость ряд
Указание.
Рассмотреть
Лекция №6 Перестановки числовых рядов
Биекция
называется
числовой
перестановкой N.
Если
числовой
ряд (1), то ряд вида
называется
его перестановкой.
Пример.
называется его перестановкой.
Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся.
Теорема Римана.
Если ряд (1)
сходится условно, то
и
существуют перестановки, для которых
представленный ряд расходится.
Введем некоторые обозначения:
Доказательство.
Пусть ряд
(1) – сходится условно,
В итоге построен
ряд
.
Получили ряд, являющийся перестановкой
исходного ряда.
Нужно показать,
что эта перестановка сходится к числу
S.
Возможны
четыре случая, пусть
тогда
;
Оценим разность
в
каждом из четырёх случаев.
Доказано.
Ряд (1) называется
универсальным
относительно
перестановок, если
Теорема (об универсальных рядах). Ряд (1) – универсальный относительно перестановок
Следствие: условно сходящийся ряд является универсальным относительно перестановок.
Задача. Проверить выполнение условий (1), (2) теоремы об универсальных рядах для условно сходящегося ряда.
противоречие.
Можно определить
и другие понятия универсального числового
ряда, например, универсальный относительно
знака: ряд (1) – универсальный относительно
знака, если
Задача. Пусть ряд
сходится.
Что можно сказать о сходимости рядов
Ряд
не
обязан сходиться, например
Ряд
также
не обязан сходиться.
Теорема (о безусловной сходимости). Ряд (1) – сходится безусловно тогда и только тогда, когда ряд (1) сходится абсолютно.
Доказательство. Необходимость.
(1) – сходится безусловно (от противного) (1) – сходится условно (по теореме Римана) (1) – не сходится безусловно – противоречие (1) – сходится абсолютно.
Достаточность.
перестановка
Доказано.
Замечание. Для абсолютно сходящегося ряда модуль суммы будет:
т.к.
при
