Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье

Можно показать, что для тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций отсутствует не только равномерная сходимость, но и поточечная сходимость в отдельных точках.

Теорема. Для любой кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции f(x) её тригонометрический ряд Фурье сходится всюду, причём к f(x), если точка непрерывности, и к если точка разрыва.

К доказательству этой теоремы предпошлём глубокий анализ поведения частичной суммы ряда Фурье

Этот анализ будет основываться на следующей лемме.

Лемма. новая функция

Доказательство.

1. 

2. 

Отсюда для равномерной сходимости достаточно показать, что следующие последовательности стремятся к нулю.

3. При доказательстве замкнутости тригонометрической системы было установлено, что Это и означает, что

Доказано.

Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)

Укажем более простой вид частичной суммы ряда Фурье:

непрерывна на

поэтому по лемме получаем

Далее

Итак,

Последняя запись частичной суммы Фурье называется принципом локализации Римана, согласно которому, сходимость ряда Фурье в точке зависит от значений функции в достаточно маленькой окрестности точки.

Если то

Покажем, используя (*), что если точка разрыва первого рода, то

По формуле Лагранжа

Аналогично:

и для этого т.к. т.е.

Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть и тогда определена новая функция

собственный интеграл, зависящий от параметра у.

Необходимо охарактеризовать свойства функции в зависимости от свойств функции

Теорема 1. Если то

Доказательство. равномерно непрерывна на D и

равномерно непрерывна на

Доказано.

Теорема 2. Если то и

повторный интеграл.

Доказательство. Пусть Докажем, что

(к каждому интегралу применим теорему о среднем: ) =

Т.к. то в силу равномерной непрерывности на D и

Доказано.

Теорема 3. Если

Замечание.

Доказательство.

или или

и

Доказано.

Несобственный интеграл – это интеграл вида

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

несобственный интеграл сходится, когда определена функция

несобственный интеграл, зависящий от параметра.

Сходимость несобственного интеграла означает существование предела

Для определения предела существуют два эквивалентных подхода:

1. определение предела по Коши:

2. определение предела по Гейне:

Лекция №29

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

(продолжение)

Определим условие поточечной сходимости интеграла на отрезке

Дадим определение равномерной сходимости.

Несобственный интеграл сходится равномерно на отрезке (по Коши)

т.е.

(по Гейне)

Критерий Коши:

сходится равномерно на отрезке

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса:

если мажоранта функции f по у, и

сходится, то сходится на равномерно.

Доказательство. сходится (по критерию Коши)

(по критерию Коши) сходится равномерно.

Доказано.

Пример.

сходится.

Данный интеграл сходится.

Рассмотрим равномерную сходимость интегралов вида (*)

Признак Абеля (признак равномерной сходимости).

Если

1. 

2. 

3. сходится равномерно на отрезке

то (*) – сходится равномерно на

Признак Дирихле.

Если:

1. монотонная;

2. т.е.

3. 

то (*) – сходится равномерно на отрезке

Пример. Доказать интеграл Дирихле.

Покажем, что этот интеграл сходится Для этого воспользуемся признаком Дирихле:

равномерно по y.

продифференцируем по х

Интеграл сходится равномерно для всех у, т.к. интеграл ограничен константой.

Найдем производную

Далее покажем, что дифференцирование под знаком интеграла возможно, если интеграл от производной сходится равномерно, т.е. равномерно сходится интеграл По признаку Вейерштрасса

сходится,