
- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Если - сходится, то - сходится;
- •Если - расходится, то - расходится.
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Критерий сходимости положительного ряда.
Лекция №18 Ряды Фурье
1. Отдельные точки Евклидова пространства интегрируемости функций, ортогональные системы в нём.
Пусть
линейное
пространство интегрируемых по Риману
на отрезке [a,
b]
функций. В нём можно определить скалярное
произведение:
удовлетворяющее
следующим аксиомам скалярного
произведения:
(нулевая функция – функция, принимающая нулевые значения в точках непрерывности и возможно положительные значения в точках разрыва, мера которых равна нулю, т.е. нулевая функция – это не одна, а целый класс функций).
Линейное пространство
со скалярным произведением называется
Евклидовым
пространством.
Евклидово пространство можно рассматривать
как нормированное, в котором норма
определяется по правилам:
Для
такого отображения выполнены все аксиомы
нормы:
неравенство треугольника, и оно легко выводится из неравенства Коши-Буняковского
В свою очередь
неравенство Коши-Буняковского позволяет
определить и угол между функциями:
В
частности
Норма
позволяет определить расстояние между
функциями и сходимость последовательности
функций:
Такую
сходимость называют среднеквадратичной
сходимостью
Сравним равномерную сходимость и среднеквадратичную сходимости на отрезке [a, b]; из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость:
Обратное неверно.
равномерной
сходимости нет.
Пространство
является
бесконечномерным. В нём линейно-независимую
систему, например, образуют функции
(система
степеней).
Задача. Охарактеризовать
мощность пространства
Счётная система
функций
называется
ортогональной, если
и ортонормированное, если система
ортогональная и нормированная, т.е.
.
Далее будем обозначать ОС – ортогональная
система, ОНС – ортонормированная
система.
Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении функции по ОНС.
Пусть
ОНС.
Линейные комбинации вида
будем
называть полиномами
порядка n
по этой ОНС. Множество всех таких
полиномов порядка n
будет образовывать линейное подпространство
размерности
п,
т.е.
,
с базисом
Задача. Доказать, что ОНС – линейно-независимая система.
Для
величина
называется
величиной наилучшего среднеквадратичного
приближения функции f
полиномами порядка п
по нашей ОНС. Полином
называется
полиномом наилучшего среднеквадратичного
приближения.
Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
Теорема.
причём
Доказательство.
ОНС,
Итак,
единственен.
Доказано.
Если
ОНС,
то
функциональный ряд
называется
рядом Фурье
функции f
по ортогональной системе
а
коэффициенты этого ряда называются
коэффициентами
Фурье.
Частичные суммы ряда Фурье обладают экстремальным свойством: они являются Полинами наилучшего среднеквадратичного приближения:
Итак, каждой функции
из
можно
поставить в соответствие её ряд Фурье.
Какое отношение этот ряд Фурье имеет к функции?
Когда этот ряд в
среднеквадратичном сходится к функции:
Ответы
на эти вопросы зависят от свойств ОНС.
Имеем:
неравенство
Бесселя.
ОНС
называется
базисом
в
если
её
ряд Фурье в среднеквадратичной форме
сходится к ней, т.е. можно записать
равенство
ОНС называется замкнутой в если множество всех полиномов по система плотно в относительно среднеквадратичной сходимости, т.е.:
ОНС называется полной в если не существует в ненулевой функции, ортогональной всем функциям системы.
ОНС
удовлетворяет
равенству
Парсеваля,
если
равна
сумме квадратов коэффициентов Фурье,
т.е.
Теорема. Все четыре условия на ОНС – равносильные.
Мы докажем более
слабый вариант теоремы:
является
базисом тогда и только тогда, когда она
замкнута. И в случае базиса выполняется
неравенство Парсеваля.
Доказательство. Необходимость.
Достаточность.
Неравенство
Парсеваля:
Доказано.
Для ортогональной системы и необязательно нормированной системы ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье и равенство Парсеваля выглядят следующим образом:
ряд
Фурье, у которого коэффициенты Фурье
имеют вид:
равенство
Парсеваля.