1.7 Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Рассмотренные выше правила сложения и умножения вероятностей позволяют рассчитать вероятности более сложных событий через вероятности простых. Существует достаточно много задач, для которых может оказаться одно из следствий приведенных правил, получившее название формулы полной вероятности.

Пусть случайное событие А может наступить в результате наступления одного из событий Н₁, Н₂, ...H_n, образующих полную группу. Тогда полная вероятность события А:

P(A)= P(Н₁)P(А/Н₁)+P(Н₂)P(А/Н₂)+...+ P(Н_n)P(А/Н_n)

При выводе формулы можно воспользоваться соотношениями

А=А=А(Н₁ + Н₂ +...+H_n)= АН₁ + АН₂ +...+АH_n

Для любых двух событий АН_i и АН_j выполняется соотношение

АН_iАН_j = ø,

то есть такие событиz несовместы и вероятность их суммы можно найти по формуле:

P(A)= P(АН₁)+P(АН₂)+...+P(АН_n)

откуда легко получить нужное выражение, с учетом того, что

P(АН_i)= P(Н_i)P(А/Н_i)

События Н₁, Н₂, ...H_n называют гипотезами. Каждая гипотеза может привести к появлению события А с определенной вероятностью.

Рассмотрим пример. Пусть в одном ящике находиться 10 ламп из которых одна нестандартная. Во втором ящике 12 ламп, из них 2 нестандартных. Необходимо найти вероятность того, что из ящика, выбранного наугад, будет извлечена нестандартная лампа. В этом примере в качестве гипотезы Н₁ удобно рассмотреть выбор первого ящика, в качестве гипотезы Н₂ - второго. Поскольку выбор любого ящика равновероятен, P(Н₁)= P(Н₂)=1/2.С другой стороны, вероятности извлечь нестандартную лампу из каждого ящика тоже известны: P(А/Н₁)=1/10, P(А/Н₂)=2/12. Подставим в формулу эти данные:

P(A)= 1/21/10+1/22/12=2/15

_

Поскольку противоположные гипотезы H и H всегда образуют полную группу, для них всегда выполняется равенство

_ _

P(A)= P(Н)P(А/Н)+P(Н)P(А/Н)

Рассмотрим еще один пример. Пусть в коробке было N шаров, из них M – белого цвета. Один шар вынули, но не сообщили о том, какого он цвета. Необходимо найти вероятность вынуть белый шар. В качестве первой гипотезы выберем предположение о том, что утраченный шар был белым. Вероятность этой гипотезы P(Н₁)=M/N. Вероятность достать белый шар в этом случае равна P(А/Н₁)=(M-1)/(N-1). Для противоположной гипотезы P(Н₂)=1-P(Н₁)=(N-M)/N. Вероятность достать белый шар равна P(А/Н₂)=M/(N-1). Подставляем данные в формулу, получаем:

P(A)= M/N(M-1)/(N-1)+(N-M)/N M/(N-1)= =M/N((M-1)/(N-1)+(N-M)/(N-1))= M/N

Еще одной важной формулой, необходимой при подсчете вероятности, является формула Байеса.

Пусть известно, что в результате испытания реализовалась одна из гипотез Н₁, Н₂, ...H_n и событие А произошло. В этом случае можно определить новые (апостериорные) значения вероятностей для гипотез с помощью формулы Байеса. Данные величины показывают, какова вероятность того, что событие произошло в результате реализации конкретной гипотезы:

P(H_i/A)= P(А/Н_i) P(Н_i)/P(А)

Рассмотрим пример.Пусть вероятность встретить контроллера в трамвае составляет 0.1, в автобусе – 0.2, в троллейбусе – 0.08. Вероятность для пассажира выбрать трамвай 0.2, троллейбус – 0.3, автобус – 0.5. Известно, что человек, добиравшийся на работу общественным транспортом, встретился с контроллером. Необходимо найти вероятность того, что это произошло в трамвае, автобусе, троллейбусе. Для начала найдем полную вероятность события «встреча с контроллером»

P(A)=0.10.2+0.20.3+0.080.5=0.12

тогда

P(H₁/A)= 0.10.2/0.12=0.16(6)

P(H₂/A)= 0.20.3/0.12=0.5

P(H₃/A)= 0.080.5/0.12=0.3(3)