1.4 Формулы комбинаторики

Один из способов определения вероятности случайного события состоит в непосредственном вычислении в соответствии с классическим определением. При этом необходимо уметь правильно находить число благоприятных исходов m_A и число всех исходов испытания n. При решении таких задач может оказаться полезным применение формул комбинаторики.

Основной принцип, на котором строятся все расчеты – это принцип умножения. Он формулируется следующим образом. Пусть необходимо выполнить одно за другим k действий. Первое можно выполнить n₁ различными способами, второе – n₂ различными способами, третье – n₃ различными способами и т.д. В этом случае все k действий могут быть выполнены n₁n₂n₃....n_k различными способами.

Рассмотрим в качестве примера задачу о броске двух игральных костей, в которой необходимо найти число возможных выпавших комбинаций. На первой кости грань может выпасть одним из 6 способов, на сторой – аналогично. Следовательно, число комбинаций 66=36.

Пусть известно, что номер телефона состоит из 6 цифр, каждая может быть любой (от 0 до 9). Согласно принципу умножения число возможных комбинаций 101010101010=10⁶. Таким образом, вероятность набрать правильный номр случайно равна 1/1 000 000.

Рассмотрим задачу о телефонном номере, но при условии, что все цифры телефонного номера должны быть разными. Теперь у нас в запасе 10 цифр и каждую можно использовать только 1 раз. Таким образом, первую цифру можно набрать одним из 10 возможных способов, вторую – уже только девятью, так как одну из 10 цифр мы уже использовали, третью – только восьмью и т.д. Число комбинаций 1098765=151200.

В последнем примере мы неявно использовали формулу для подсчета числа размещений. Размещение – это упорядоченный набор из k элементов, выбранных из n имеющихся. О размещении говорят, когда необходимо заполнить k позиций любыми из имеющихся n элементов. Чтобы задать размещение из k элементов, необходимо на первое место поместить один из этих элементов. Это можно сделать n способами. На второе место можно поместить следующий элемент. Это возможно сдедать n-1 способами. Следующий элемент мы сможем выбрать n–2 способами, на позицию k элемент поместим n– (k-1) числом способов. Таким образом, число размещений определяется по формуле

A_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-(k-1)=n!/(n-k)!

Напомним, что для любого натурального числа m!=123...m . Кроме того, согласно принятому правилу 0!=1

Частным случаем формулы для подсчета числа размещений является формула для подсчета числа перестановок. Ее можно получить, приравняв число позиций к числу элементов, то есть положив k=n. Перестановка - упорядоченный набор n элементов из n возможных. Число способов переставить n элементов местами равно

P_n=n(n-1)(n-2)...1=n!

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Пусть к вам пришли три гостя, и у вас для них есть три места. Необходимо определить число сопособов, которыми можно рассадить гостей. Поскольку n=3, P_n=3!=6.

Разновидностью формулы для подсчета перестановок является формула для подсчета числа перестановок с повторениями. Предположим, что есть n элементов, но n₁ из них принадлежат к сорту 1, n₂ – к сорту 2, n_k – к сорту k. Элементы, принадлежащие к одному сорту, неразлечимы между собой в каждой конкретной перестановке. В этом случае число возможных перестановок необходимо рассчитывать по формуле

P_n1n2...nk = n!/(n₁!n₂! n₃!...n_k!)

Предположим, необходимо посчитать число различных перестановок для трех шаров, два из которых – одного цвета. Если каждому шару присвоить свой уникальный номер – перестановок будет 6. Если учитывать только цвета шаров, то любые две перестановки, в которых одинаковые по цвету шары меняются местами будут считаться одним и тем же результатом, то есть перестановок окажется в два раза меньше. Проверим это с помощью формулы. Число шаров первого сорта равно2 число шаров второго сорта равно 1. P₂₁ = 3!/(2!1!)=3.

Еще одной важной формулой комбинаторики является формула для подсчета числа сочетаний. Сочетанием из n элементов по k называется любой неупорядоченный набор k элементов, выбранных из n имеющихся. Формулу для числа сочетаний легко получить из формулы для размещений. Посокольку набор k элементов не должен быть упорядочен, все размещения с определенным набором k элементов (k! штук) относятся к одному и тому же сочетанию. Следовательно, сочетаний должно быть в k! раз меньше.

С_n^k= n!/(n-k)!/ k!

Рассмотрим еще один пример. Пусть необходимо выбрать трех человек из присутствующих пяти в любом порядке. Для определения числа возможных комбинаций воспользуемся формулой сочетаний С₅³= 5!/(5-3)!/3! =10. Если необходимо не просто выбрать людей, но и разместить их в определенном порядке, число возможных комбинаций будет больше - A₅³=5!/(5-3)!=103!=60, так как три объекта всегда можно разместить шестью способами.

Напомним, что выражение для числа сочетаний С_n^k на самом деле является биномиальным коэффициентом, то есть входит в формулу бинома Ньютона

_n

(a+b)ⁿ= С_nⁿaⁿb⁰+ С_n^n-1a^n-1b¹+...+ С_n⁰a⁰bⁿ= С_n^ka^kb^n-k

^k=0

В частности, (a+b)²= С₂²a²b⁰+ С₂¹a¹b¹+С₂⁰a⁰b²=a²+2ab+b².

Последней формулой, которую мы рассмотрим, является формула сочетаний с повторениями. Сочетанием из n элементов по k c повторениями называется неупорядоченный набор из k элементов, каждый их которых принадлежит к одному из n возможных типов. Пусть, например, у нас есть элементы трех сортов - A, B и C. Поскольку речь идет не о конкретном элементе, а о сорте, элемент может входить в сочетание несколько раз. Например, сочетания по два элемента, кроме обычных сочетаний AB, AC, BC, будут включать и AA, BB, CC. В случае, когда рассматривается сочетание из трех элементов, возможны комбинации ABC, AAA, BBB, CCC, AAB, AAC, ABB, ACC, BBC, BCC. Формула для подсчета сочетаний с повторениями записывается как:

f_n^k= С_p^q,

где p=n+k-1, q=n-1 или q=n.