1.3 Вероятность случайного события

Вероятность случайного события – основная числовая характеристика такого события, представляющая меру его объективной возможности. Данную величину можно определить несколькими способами.

Будем повторять некое испытание многократно и каждый раз отмечать, произошло ли интересующее нас событие. Обозначим буквой n число проведенных испытаний, а буквой n_А - число испытаний, в которых появилось событие А. Величина _А= n_А/n - относительная частота случайного события - в различных сериях испытаний может принимать близкие значения, при условии, что число испытаний n каждой серии достаточно велико. Значение, около которого группируются полученные частоты, называется вероятностью события A. Подобный способ определения вероятности называется статитстическим. Простейшим примером испытания может стать подбрасывание монетки. При достаточно большом числе бросков в каждой серии, полученные частоты выпадания герба (или решки) будут группироваться вблизи числа 1/2. Можно отметить, что статистическое определение предлагает лишь способ оценки, а не строгий метод вычисления вероятности события.

Рассмотрим классическое определение вероятности. Пусть проводится испытание, для которого число элементарных равновозможных исходов равно n. Для произвольного события А вероятность его наступления вычисляется по формуле

P(A)=m_A/n,

где m_A - число исходов, благоприятных событию A , то есть таких, когда событие A наступило.

Примером может стать бросок игральной кости (кубика с 6 гранями). Число элементарных равновозможных исходов испытания n=6. Если мы ищем вероятность выпадения определенной грани, число благоприятных исходов m_A=1 и P(A)=m_A/n=1/6. Можно отметить, что вероятность каждого элементарного равновозможного исхода всегда вычисляется по формуле P(A)=1/n. Найдем вероятность выпадения грани с четным числом очков. В этом случае m_A=3 и P(A)=m_A/n=3/6=1/2.

Найдем вероятность одновременного выпадения двух шестерок при броске двух игральных костей. Число элементарных исходов равно n=66=36 , число благоприятных - 1. P(A)=m_A/n=1/36.

Еще одно очень важное замечание можно сделать о возможных значениях вероятности случайного события. Так как максимально возможное число благоприятных исходов равно n, а минимальное – 0, вероятность случайного события может принимать значения только от 0 до 1.

0P(A)1

Определить вероятность события можно и другим способом. В подходе, основанном на представлениях теории множеств предполагается, что любое испытание характеризуется множеством элементарных исходов . Любой элемент этого множества _i характеризуется вероятностью p_i . Элементарные исходы в этом подходе не обязательно должны быть равновозможными, однако в сумме их вероятности, как и в классическом случае, дают 1

_n

p_i = 1

ⁱ⁼¹

При таком подходе вероятность события А определяется как сумма вероятностей событий _i, благоприятных событию А.

_k

P(A)=p_i^A

ⁱ⁼¹

До сих пор нами рассматривались случаи, для которых множество элементарных исходов являлось счетным и конечным. Встает вопрос, как определить вероятность в тех случаях, когда мы не можем перенумеровать элементарные исходы. С такой ситуацией мы уже встречались, когда рассматривали пример о случайном попадании точки в заданную область на плоскости. Совершенно аналогично можно рассмотреть задачу о попадании точки на отрезок или в в трехмерную область пространства. Очевидно, что в таком случае необходимо пользоваться геометрическим определением вероятности. Согласно этому определению, при вычислении вероятности используется формула

P(A)=s_A/s_,

где s_A и s_–геометрические параметры (длина, площадь или объем, в зависимости от условий задачи) характеризующие область возможных элементарных исходов () и область исходов, благоприятных событию A. Так, на рис. 1 для вычисления вероятности случайного попадания точки в область А необходимо площадь области А разделить на площадь всей области .