
- •Вероятность событий
- •1.1 Элементарные понятия теории вероятности.
- •1.2 Операции над случайными событиями
- •1.3 Вероятность случайного события
- •1.4 Формулы комбинаторики
- •1.5 Вероятность произведения событий
- •1.6 Вероятность суммы событий
- •1.7 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Независимые повторные испытания
- •2.1 Формула Бернулли
- •2.2 Наивероятнейшее число появлений успеха в n независимых испытаниях.
- •2.3 Обобщение формулы Бернулли
- •2.4 Формула Пуассона
- •2.5 Локальная теорема Лапласа.
- •2.6 Интегральная теорема Лапласа
- •2.7 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события a
- •Дискретные случайные величины
- •3.1 Основные определения
- •3.1.1.Дискретная случайная величина
- •3.1.2 Функция дискретной случайной величины
- •3.2 Законы распределения случайной дискретной величины
- •3.2.1. Биномиальное распределение
- •3.2.2. Распределение Пуассона
- •3.2.3. Геометрическое распределение
- •3.2.4. Гипергеометрическое распределение
- •3.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •3.3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.3.2. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
- •3.3.3. Свойства математического ожидания
- •3.3.4. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.3.5. Основные свойства дисперсии
- •3.4 Другие числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.4.1 Среднеквадратическое отклонение
- •3.4.2. Моменты k-го порядка
- •3.4.3. Нормированная случайная величина
- •3.4.4. Функция распределения дискретной случайной величины.
- •3.4.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.4.6. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Непрерывные случайные величины.
- •4.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •5.2. Функция непрерывной случайной величины
- •5.3. Основные характеристики непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Математическое ожидание
- •5.3.2. Дисперсия
- •5.3.3. Мода и медиана
- •5.3.4. Моменты k-го порядка
- •5.3.5. Асимметрия и эксцесс.
- •5.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Равномерное распределение
- •5.3.2. Показательное распределение
- •5.3.3. Нормальное распределение
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Центральная предельная теорема
- •5.2. Неравенство и теорема Чебышева.
- •5.3. Теорема Бернулли (Закон больших чисел)
- •5.4. Эмпирическая оценка параметров случайной величины
- •Система двух случайных величин
- •6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
- •6.2. Функция распределения двумерной случайной величины
- •6.3. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •6.4. Функция плотности вероятности непрерывной двумерной случайной величины
- •6.5. Функция двумерной случайной величины
- •6.6. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины
- •6.6.1. Условные законы распределения дискретной случайной величины
- •6.6.2. Условные законы распределения непрерывной случайной величины
- •6.6.3. Условное математическое ожидание
- •6.7. Корреляция случайных величин
- •6.7.1 Независимость компонент двумерной случайной величины
- •6.7.2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
- •6.7.3. Линейная регрессия, линейная корреляционная зависимость.
5.3.3. Мода и медиана
Модой непрерывной случайной величины X называют такое значение xMo=x0, для которого функция плотности распределения f(x0) максимальна.
Медианой непрерывной случайной величины X называют такое значение xMe=x0, для которого функция распределения равна 0.5
P(X xMe)= P(X xMe)= F(xMe)=0.5
5.3.4. Моменты k-го порядка
Начальным моментом k-го порядка непрерывной случайной величины X называется математическое ожидание величины величины Xk
k (X)=M(X k)= ∫xk f(x)dx
-
Центральным моментом k-го порядка непрерывной случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени соответствующей центрированной величины.
Mk(X)=M(X k)= ∫[x-M(X)]kf(x)dx
-
5.3.5. Асимметрия и эксцесс.
Для характеристики общего вида графика плотности вероятности случайной величины вводят такие параметры, как асимметрия и эксцесс.
Для оценки асимметрии распределения случайной величины можно использовать любой нечетный центральный момент, если его порядок выше первого. Обычно используется нормированный третий момент случайной величины
as=3/3=1/3M([X-M(X)]3)
При as0 асимметрия положительна и более длинное крыло кривой распологается справа от математического ожидания. При as0 асимметрия отрицательна и «длинна часть» кривой распологается слева от математического ожидания. Для симметричного распределения as=0.
Эксцесс теоретического распределения вводится как
Ek=4/4-3.
Если случайная величина распределена в соответствии с нормальным законом, Ek=0. При Ek0 – функция плотности распределения имеет более низкую и плоскую вершину, чем в случае нормального распределения, при Ek0 – более высокую и острую вершину.
5.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
5.3.1. Равномерное распределение
Распределение называется равномерным, если плотность вероятности постоянна на интервале axb и равна 0 вне интервала.
0, xa
f(x)= 1/(b-a), axb
1, xb
f(x)
1/(b-a)
0
a
b
x
Рис. 8. Равномерное распределение (плотность распределения)
Пользуясь свойствами функции распределения легко показать, что
При xa функция
x
F(x)= P(-X x)= ∫ f(t)dt=0
-
При axb функция
0 x
F(x)=P(-Xx)= ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt=x/(b-a)
- a
При xb F(x)=P(-X x)=1
0 b x b
F(x)=P(-Xx)= ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt +∫ f(t)dt =∫1/(b-a)dx=(b-a)/(b-a)=1
- a b a
Таким образом,
0, xa
F(x)= (x-a)/(b-a), axb
1, xb
F(x)
1
x/(b-a)
0
a
b
x
Рис. 9. Равномерное распределение (функция распределения)
Математическое ожидание для равномерного распределения
b b b
M(x)= ∫ xf(x)dx=∫1/(b-a) xdx=1/2x2/(b-a)=(b2- a2)/(b-a)/2=(a+b)/2
a a a
Дисперсия равномерного распределения
b
D(X)=M([X]2)-[M(X)]2=∫x2/(b-a)dx-[(b+a)/2]2=(b-a)2/12
a
Мода для равномерного распределения не существует, медиана xMe==(a+b)/2.