47. Оценка генеральных характеристик по выборке.

Рассмотрим повторную выборку значений гене­ральной совокупности X. При этом случайные величины будут независимыми. Пусть MX= α, DX = δ² ге­неральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оце­нок для α и δ рассмотрим среднюю арифметическую выборки и выборочную дисперсию .

Выясним свойства этих оценок: . Значит, является несмещённой оценкой для α. Т.к. по закону больших чисел при , то оценка является состоятельной. Можно доказать, что оценка является также эффективной, причём . Математическое ожидание выборочной дисперсии равно . Таким образом, оценка является смещённой. На практи­ке, чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвест­ной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправ­ленной несмещенной оценкой . Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оцен­ка , так и являются состоятельными оценками для .Дисперсия , где N -- объем генеральной совокупности. Дисперсия в случае повторной выборки равна , а в случае бесповторной выборки , где .

48.Интервальной оценкой параметра называется интервал (a;b), который с заданной вероятностью  накрывает неизвестное значение параметра (интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценок) Интервал(a;b) называется доверительным интервалом(интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью ), а вероятность  - доверительной вероятностью

если интервал симметричен относительно оценки : он имеет вид . * тем точнее определяет параметр , чем меньше , т. е.

если 0 и <, то чем меньше , тем оценка точнее. (уровень значимости)- характеризует точность оценки.

49. Доверительный интервал для м(х)в случае нормально распред.Ген.Совокупности

Пусть CВ Х распределена нормально т. е. ген. с-ть – нормально распределенная CВ с переменными: и . Для нормальной СВ Х с переменными  и  имеет место ф-ла вер-ти отклонения нормальной СВ: .

В нашем случае: , =>0, (х)= , СВ Х= . Тогда получаем . Зададим доверительную вероятность , тогда . Это вероятность того, что выборочная характеристика отличается от ген средней по абсолют величине меньше чем на , тогда имеем: → t_y= . Рассмотрим = - точность оценки(предельная ош выборки). Получим интервал: на этом интервале с надежностью(доверит вероятностью)  находится неизвестная вероятная средняя Примечание: если ₀ неизвестна, ее заменяют приближенно исправленной стат дисперсией S

(Если отбор бесповторный, то мера точности  имеет вид: = )

50.Сред ош в-ки – величина , где - сред квадрат отклонение средней выборки , а - среднее квадрат отклонение ген с-ти; n – объем выборки.(для бесповтор. )

Предел ош вы-ки ()– наибольшее отклонение выборочной средней от генеральной средней , которое возможно с данной доверительной вероятностью . =t, где  - сред ош в-ки, а t находится из равенства t= по заданной вероятности . (используя ф-лу сред.ош. выборки: = t )(для бесп. )