5. Задачи для самоконтроля

5.1 Определители, матрицы, системы

5.1.1-5.1.4 Вычислить определитель:

5. ; 5. ; 5. ; 5. ;

5.1.5 Проверить, что ;

5.1.6-5.1.7 Решить уравнение: 5.1.6 =0; 5.1.7 =0;

5.1.8 Доказать тождество: .

5.1.9 Вычислить: 3А+2В, где А= ; В= ;

5.1.10-5.1.13 Найти произведение матриц:

5.1.10 ; 5.1.11 ;

5.1.12 ; 5.1.13 ;

5.1.14-5.1.15 Найти матрицу, обратную данной:

5.1.14 А= ; 5.1.15 ;

5.1.16-5.1.17 Решить матричное уравнение:

5.1.16 ; 5.1.17 ;

5.1.18 , где Найти ;

5.1.19-5.1.20 Найти те из произведений матриц , , которые существуют:

5.1.19 ; 5.1.20 ;

5.1.21-5.1.23 Решить систему по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

5.1.21 ; 5.1.22 ; 5.1.23 ;

5.1.24 Определить, при каких значениях и система

- имеет единственное решение;

- не имеет решений;

- имеет бесконечно много решений.

5.1.25-5.1.27 Определить ранг матрицы и указать какой-либо базисный минор:

5.1.25 ; 5.1.26 ;

5.1.27 ;

5.1.28-5.1.30 Исследовать систему на совместность и в случае совместности найти все ее решения:

5.1.28 ; 5.1.29 ;

5.1.30 ;

5.1.31-5.1.33 Найти общее решение и фундаментальный набор решений системы:

5.1.31 ; 5.1.32 ;

5.1.33 ;

5.2. Элементы векторной алгебры

5.2.1 Указать коллинеарные векторы:

5.2.2 На плоскости заданы векторы . Доказать (графически и аналитически), что базис. Найти разложение вектора по базису.

5.2.3 Задана тройка некомпланарных векторов . Найти координаты вектора в базисе и написать соответствующее разложение.

5.2.4 Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и . .

5.2.5 Дано: . Найти: .

5.2.6 Найти векторное произведение .

5.2.7 Компланарны ли векторы .

5.2.8 Образуют ли вектора базис?

5.2.9 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, где .

5.2.10 Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами .

5.2.11 Разложить вектор по векторам , если .

5.2.12 Дано: . Найти длины сторон и величины углов .

5.2.13 Доказать что точки лежат в одной плоскости.

5.3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

5.3.1 Написать уравнение прямой, привести к общему виду и построить, если она задана точкой М₀ (-1, 2) и направляющим вектором (3, -1); если она задана точкой М₀ (-1, 2) и нормальным вектором (3, -1).

5.3.2 Найти общее уравнение плоскости, если она задана: точкой М (1, 2, 3) и нормальным вектором (3, 2, 1); тремя точками М₁ (1, 2, 0), М₂ (3, 1, 2), М₃ (0, 1, 3); точкой А (0, 2, 3) и двумя направляющими векторами (1, 0, 4), (2, 1, 3).

5.3.3 Составить каноническое, параметрическое и общее уравнение прямой, заданной т. А (-1, 3, -4) и направляющим вектором (1, 3, -2).

5.3.4 Найти угол между плоскостями: и : .

5.3.5 Найти угол между прямыми

.

5.3.6 составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

5.3.7 Доказать, что прямая и плоскость пересекаются, найти точку пересечения, если

, : .

5.3.8 Доказать, что вектор является направляющим для прямой: .

5.3.9 Исследовать взаимное расположение плоскостей

: ;

: ;

: .

5.3.10 Составить уравнение окружности, проходящей через точки , , .

5.3.11 Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса .

5.3.12 Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы .

5.3.13 Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси Ox. Найти фокус и уравнения параболы и ее директрисы.

5.3.14 Найти центр и радиус окружности .

5.3.15 Найти значение параметра , при котором окружность касается прямой . Найти радиус окружности, ее центр и точку касания.

5.3.16 Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями и гипербола проходит через точку . Найти расстояние между фокусами и вершинами гиперболы.

5.3.17 Через точку провести такую хорду параболы , которая делилась бы в данной точке пополам.