Раздел 9 Кривые и поверхности второго порядка
Что называется окружностью? Каким уравнением задается окружность с центром в точке
радиуса
R?Что называется эллипсом? Какие точки называются фокусами эллипса? Как выглядит простейшее (каноническое) уравнение эллипса? Что называется фокальными радиус - векторами точки эллипса? Что называется эксцентриситетом эллипса?
Что называется гиперболой? Какие точки называются фокусами гиперболы? Как выглядит простейшее (каноническое) уравнение гиперболы? Какие точки называются вершинами гиперболы? Что называется эксцентриситетом гиперболы?
Что называется параболой? Что называется фокусом и директрисой параболы? Как выглядит простейшее (каноническое) уравнение параболы?
Опишите способы приведения к каноническому виду кривых второго порядка.
Что называется сферой? Каким уравнением задается сфера с центром в точке
радиуса R.Запишите канонические уравнения цилиндров: эллиптического, гиперболического, параболического.
Запишите уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат и осью OZ (OX, OY).
Запишите канонические уравнения: эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида.
Запишите канонические уравнения: эллиптического параболоида, гиперболического параболоида.
Опишите алгоритм построения поверхностей второго порядка методом параллельных сечений.
Раздел 10 Квадратичные формы
Что называется билинейной формой? Что называется матрицей билинейной формы? Что называется рангом билинейной формы? Какая билинейная форма называется симметрической?
Что называется квадратичной формой? Каким особым свойством обладает матрица квадратичной формы? Что называется рангом квадратичной формы? Какая квадратичная форма называется вырожденной (невырожденной)?
Что называется полярной билинейной квадратичной формой для данной квадратичной формы? Какая существует связь между квадратичной формой и полярной билинейной формой для данной квадратичной формы?
Как представить билинейную и квадратичную форму с помощью матриц? Связь между матрицами билинейных (квадратичных) форм при невырожденных преобразованиях: записать и обосновать.
Какая квадратичная форма называется канонической? Какая связь между числом отличных от нуля коэффициентов в квадратичной форме канонического вида и рангом формы?
Опишите метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Сформулируйте и докажите основную теорему о квадратичных формах.
Сформулируйте и докажите закон инерции квадратичных форм.
Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Какая квадратичная форма называется отрицательно определенной? Какие миноры называются главными минорами квадратичной формы? Сформулируйте и докажите критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Сформулируйте алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду (к главным осям) с помощью ортогонального преобразования.