Раздел 5 Линейные преобразования линейных пространств (линейные операторы)

1. Что называется преобразованием линейного пространства? Преобразования какого вида называются линейными преобразованиями? Опишите алгоритм, согласно которому каждому линейному преобразованию в конечномерном линейном пространстве с фиксированным базисом, ставится в соответствие единственная квадратная матрица. Возможно ли обратное?

2. Выведите формулы для связи матриц одного и того же линейного преобразования в двух базисах одного и того же конечномерного линейного пространства.

3. Докажите инвариантность определителя матрицы линейного преобразования.

4. Какое линейное преобразование называется тождественным? Какое преобразование называется невырожденным? Какое преобразование называется вырожденным? Сформулируйте и докажите критерий невырожденности линейного преобразования конечномерного линейного пространства.

5. Что называется линейным подпространством линейного пространства? Сформулируйте достаточный признак того, что некоторое множество является линейным подпространство линейного пространства. Приведите примеры линейных подпространств.

6. Что называется ядром линейного преобразования? Какими свойствами оно обладает? Что называется множеством значений линейного преобразования?

7. Какими особыми свойствами обладает пространство решений линейной однородной системы? Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения неоднородной системы m линейных уравнений с n неизвестными.

8. Какой вектор называется собственным вектором линейного преобразования? Может ли он быть нулевым? Что называется собственным значением линейного преобразования? Сколько различных собственных значений может иметь собственный вектор?

9. Что называется характеристическим многочленом? Как он получается? Запишите вывод. Что называется характеристическим числом линейного преобразования? Докажите, что вид характеристического многочлена линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

10. Что называется спектром линейного преобразования? Какой спектр называется простым? Докажите теорему о независимости системы векторов, составленной из собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.

11. Когда в линейном пространстве можно выбрать базис из собственных векторов? В каком случае матрица линейного преобразования может быть приведена к диагональному виду?

Раздел 6 Евклидовы пространства

1. Какое пространство называется евклидовым? Что называется скалярным произведением? Запишите и докажите неравенство Коши – Буняковского.

2. Что называется длиной вектора в евклидовом пространстве? Какими она обладает свойствами? Что называется углом между векторами в евклидовом пространстве? Какие векторы называются ортогональными? Какая система векторов называется ортонормированной? Докажите, что система ортонормированных векторов является линейно независимой.

3. Докажите, что в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормированный базис.

4. Преобразование какого вида называется ортогональным? Какими свойствами обладает матрица ортогонального преобразования?

5. Преобразование какого вида называется симметрическим преобразованием? Какими свойствами обладает матрица симметрического преобразования?