Раздел 3 Системы линейных уравнений

1. Система какого вида называется системой m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется коэффициентами при неизвестных? Что называется свободными членами? Что называется решением системы? Решение какого вида называется тривиальным? Решение какого вида называется нетривиальным? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от числа решений? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от свойств свободных членов?

2. Что называется матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Сформулируйте и обоснуйте метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

3. Что называется определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными? Определители какого вида называются вспомогательными определителями для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите критерий существования ненулевых решений у системы n линейных уравнений с n неизвестными. Когда система n линейных уравнений с n неизвестными имеет только тривиальное решение? Сформулируйте и докажите.

4. Сформулируйте и докажите теорему Кронекера - Копелли о совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными.

5. Сформулируйте и обоснуйте правило применения обратных матриц для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Раздел 4 Линейные пространства и подпространства

1. Что называется линейным пространством? Приведите примеры.

2. Что называется линейной комбинацией векторов? Какая система векторов называется линейно зависимой? Какая система векторов называется линейно независимой? Сформулируйте и докажите критерий линейной зависимости системы векторов в произвольном пространстве. Сформулируйте и докажите частные случаи линейной зависимости и независимости системы векторов в произвольном пространстве.

3. Какое линейное пространство называется конечномерным? Что называется размерностью конечномерного линейного пространства? Как обозначаются такие линейные пространства? Какое пространство называется бесконечномерным? Как обозначаются такие линейные пространства?

4. Что называется базисом линейного пространства? Как выбирают базис в конечномерном линейном пространстве? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему. Сколько базисов можно выбрать в конечномерном линейном пространстве?

5. Что называется координатами вектора в базисе? Докажите терему о единственности разложения вектора по базису. Сформулируйте и докажите критерий линейной независимости системы векторов в конечномерном линейном пространстве.

6. Что называется матрицей перехода от одного базису к другому в конечномерном линейном пространстве? Запишите соответствующие формулы. Выведите формулы для связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же конечномерного линейного пространства.