5.4. Линейные пространства, линейные преобразования, квадратичные формы
5.4.1Выяснить, являются ли векторы
линейно зависимыми?
5.4.2 Найти общее решение системы и
проанализировать его структуру: указать
какой-либо базис пространства решений
однородной системы, установить
размерность пространства:
.
5.4.3 В пространстве известны
,
.
Доказать, что
базис и найти координаты данного вектора
в этом базисе.
5.4.4 Найти координаты вектора
в базисе
,
если известно, что
.
5.4.5
,
в
базисе
.
Найти
.
5.4.6 Найти все значения
,
при которых вектор
линейно выражается через векторы
.
5.4.7 Дана матрица
перехода от базиса
к базису
.
Найти координаты векторов
в
базисе
.
5.4.8 Найти матрицу линейного оператора
,
где
в том базисе, в котором даны координаты
векторов
.
5.4.9 Пусть линейный оператор
двумерного пространства в базисе
задан матрицей
.
Найти
,
где
.
5.4.10 Пусть
в базисе
.
Найти матрицу линейного оператора f
в базисе
,
если
;
.
5.4.10 Является ли линейным оператор
,
переводящий вектор
в вектор
,
заданный координатами в том же базисе:
.
5.4.11 Какие из указанных векторов являются собственными векторами оператора f, если оператор задан матрицей
.
5.4.12 Найти собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей
.
5.4.13 Найти собственные векторы линейного
оператора, заданного в некотором базисе
матрицей
.
5.4.14 Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица. Найти ортогональную матрицу, диагонализирующую ее:
.
5.4.15 Дана квадратичная форма
.
Записать ее в матричном виде.
5.4.16 Найти квадратичную форму, соответствующую матрице
.
5.4.17 Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального оператора.
5.4.18 Привести квадратичную форму к
каноническому виду
методом Лагранжа.
5.4.19 Определить ранг данной квадратичной
формы
.
5.4.20 Исследовать квадратичную форму на
знакоопределенность
.
5.4.21 Дана квадратичная форма
.
Найти квадратичную форму
,
полученную из данной линейным
преобразованием
.
5.5 N-мерное арифметическое точечное пространство
5.5.1 Определить взаимное расположение
плоскости
и прямой
:
.
5.5.2 Определить взаимное расположение
плоскостей
и
,
где
5.6. Комплексные числа
5.6.1 Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме:
а)
;
б)
.
5.6.2 Решить уравнение:
.
5.6.3Извлечь квадратный корень из
комплексного числа:
5.6.4Представить комплексное число в тригонометрической форме:
а)
;
б)
;
в)
.
5.6.5 Выполнить действия над комплексными
числами в тригонометрической форме,
вычислить
:
5.6.6 Записать в показательной форме:
а)
; б)
; в)
; г)
-1; д) 1; е)
.
5.6.7 Вычислить: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.