4.6. Функционально полные системы

Как показано выше, любая функция алгебры логики может быть записана в виде СДНФ или СКНФ. Следовательно, любую функцию аргументов можно представить с помощью системы только из трех элементарных функций: инверсия, дизъюнкции и конъюнкции. Возможны и другие системы функций, с помощью которых может быть выражена произвольная функция.

Система функций алгебры логики f₁, f₂, …, f_m называется полной, если любая функция от произвольного числа аргументов n может быть представлена суперпозицией функций f₁, f₂, …, f_m. Полная система функций называется базисом. Максимальным базисом называется такой базис f₁, f₂, …, f_m, для которого удаление хотя бы одной из функций f_j, образующих этот базис, превращает систему функций в неполную. Так, полная система из дизъюнкции, конъюнкции и инверсии может быть сокращена, поскольку с помощью формул де Моргана можно представить либо конъюнкцию через инверсию и дизъюнкцию, либо дизъюнкцию через инверсию и конъюнкцию. Таким образом, базис из дизъюнкции, конъюнкции и инверсии не является минимальным. Поскольку ни дизъюнкция, ни конъюнкция не могут быть выражены через инверсию и наоборот, и инверсия не может быть выражена ни через конъюнкцию, ни через дизъюнкцию, то следовательно, базисы, состоящие из инверсии и дизъюнкции, а так же из инверсии и конъюнкции, являются минимальными. Возможны различные базисы и минимальные базисы, отличающиеся числом входящих в них функций и их видом.

Для определения полноты заданной системы функций используются следующие свойства функций алгебры логики:

свойство сохранения нуля: функция обладает этим свойством, если для нее выполняется условие f(0, 0, ..., 0)=0, т.е. если функция на нулевом наборе аргументов равна 0;

свойство сохранения единицы: этим свойством обладают функции, для которых выполняются условия f(1, 1, ..., 1)=1, т.е. на единичном наборе аргументов значение функции равно 1.

свойство самодвойственности: этим свойством обладают функции, для которых справедливо равенство:

,

т.е. самодвойственными являются функции, у которых инвертирование всех аргументов приводит к инверсии значения функции;

свойство монотонности: функция обладает этим свойством, если для любых двух наборов аргументов (a₁, a₂, ..., a_n) и (a₁’, a₂’, ..., a_n’), в которых а₁£a₁’, a₂£a₂’, ...., a_n£a_n’, где а и а’ принимают значение либо 0, либо 1, выполняется условие f(a₁, a₂, ..., a_n) £ f(a₁’, a₂’, ..., a_n’). Например, набор 1011 не меньше набора 1010. Таким образом, функция является монотонной, если ее значение не убывает при переходе от любого набора значений аргументов к любому другому из возможных наборов, в котором значение соответствующих аргументов не меньше, чем в первом наборе;

свойство линейности: функция f(x₁, x₂, ..., x_n) является линейной, если ее можно представить с помощью элементарной функции сложения по модулю два в следующем виде:

f(x₁, x₂, ..., x_n)=a₀Åa₁x₁Åa₂x₂Å...Åa_nx_n,

где a_j - константы, имеющие значения нуля и единицы.

Определим, каким из этих свойств обладают элементарные функции. Для этого рассмотрим таблицу истинности функций двух аргументов (табл. 4.7.)

Таблица 4.7. Таблица истинности функции двух аргументов

x1	x2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Из приведенных в таблице элементарных функций свойством сохранения нуля обладают функции f₀, f₁, …, f₇, значение которых на нулевом наборе аргументов (x₁=0, x₂=0) равны 0. Свойством сохранения единицы обладают все функции с нечетными индексами f₁, f₃, ..., f₁₃, f₁₅, значения которых на единичном наборе аргументов (x₁=1, x₂=1) равны 1.

Среди элементарных функций двух аргументов самодвойственными являются функции, значение которых инвертируется при переходе от набора аргументов x₁=0, x₂=0 к набору x₁=1, x₂=1 и от набора x₁=0, x₂=1 к набору x₁=1, x₂=0. Свойством самодвойственности обладают функции f₃, f₅, f₁₀, f₁₂. Свойством монотонности обладают те из функций, значение которых не убывает при переходе от набора x₁=0, x₂=0 к наборам x₁=0, x₂=1; x₁=1, x₂=0; x₁=1, x₂=1, а так же от набора x₁=0, x₂=1 к набору x₁=1, x₂=1 и от набора x₁=1, x₂=0 к набору x₁=1, x₂=1. Свойством монотонности обладают функции f₀, f₁, f₃, f₅, f₇ и f₁₅.

Линейность функции определяется следующим образом. Если функция двух аргументов является линейной, то по определению для двух аргументов она представляется в следующем виде:

f(x₁,x₂)=a₀Åa₁x₁Åa₂x₂.

При этом для различных наборов значения функции будут следующие:

f(0,0)=a₀, f(0,1)=a₀Åa₂, f(1,0)=a₀Åa₁, f(1,1)=a₀Åa₁Åa₂.

Первые три выражения позволяют определить коэффициенты a₀, a₁, a₂:

a₀=f(0,0), a₁=f(0,0)Åf(1,0), a₂=f(0,0)Åf(0,1).

Если при найденных таким образом значениях коэффициентов выполняется четвертое равенство

f(1,1)=a₀Åa₁Åa₂,

то такая функция является линейной.

Свойства элементарных функций сведены в таблицу 4.8, где знаком ‘+‘ показано, какими из свойств обладают элементарные функции.

Таблица 4.8. Свойства элементарных функций

Свойства элементарных функций

f0

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f12

f13

f14

f15

Сохранение 0

+

+

+

+

+

+

+

+

Сохранение 1

+

+

+

+

+

+

+

+

Самодвойственность

+

+

+

+

Монотонность

+

+

+

+

+

+

Линейность

+

+

+

+

+

+

+

При известных свойствах функции можно определить полноту системы заданных функций. Чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала следующие функции: не сохраняющую нуль, не сохраняющую единицу, не являющуюся монотонной. Таким образом, если бы полная система была составлена из функций, каждая из которых не обладала бы хотя бы одним из пяти свойств, то система включила бы в себя все пять функций. Однако функции, из которых составляется полная система, могут быть лишены одновременно нескольких свойств, и, следовательно, число функций в полной системе может быть меньше.

Из таблицы 4.8. следует, что функция Пирса и Шеффера не обладают ни одним из пяти свойств. Следовательно, каждая из этих функций составляет полную систему и представляет собой минимальный базис.

Выбор минимального базиса связан с выбором стандартного набора логических элементов, из которых будет строиться конкретное цифровое устройство. Очевидно, что уменьшение числа функций, входящих в базис, соответствует уменьшению числа различных логических элементов, принятых за стандартные. Однако следует учитывать, что при реализации цифрового устройства важно не только количество типов стандартных элементов, но и общее число их. При этом сложность устройства с точки зрения количества использованных элементов существенно зависит от вида реализуемой функции и вида функций, выбранных в качестве базиса.