4.2. Формы представления числовой информации в эвм

В ЭВМ используются две формы представления числовой информации: естественная форма (с фиксированной запятой) и полулогарифмическая форма (с плавающей запятой).

Естественная форма характеризуется тем, что местоположение запятой, отделяющей целую часть числа от его дробной части строго фиксировано. Это означает, что если n-разрядное число в каком-то узле ЭВМ представлено комбинациями состояний n двухпозиционных элементов, то запятая всегда строго фиксирована после k-ого элемента. k-ым элементом может быть, в принципе, любой по порядку элемент. На практике с целью максимального упрощения правил выполнения арифметических операций, используются две разновидности естественной формы представления числовой информации. В первом случае запятая фиксируется перед самым левым цифровым разрядом числа. В этом случае все числа, представленные в машине, должны быть меньше единицы. Это означает, что, прежде чем ввести исходную числовую информацию, необходимо ее предварительно масштабировать. Делается это так. Любое число Х представляется в виде , где M_х носит название масштаба, а - масштабированного числа. М_х выбирается так, чтобы выполнилось условие <1. Масштаб запоминается вне ЭВМ, а в машину вводится лишь . В другом случае запятая фиксируется после самого первого цифрового разряда числа. В этом случае все числа, представляемые в машине, должны быть целыми, т.е. не иметь дробной части. Чтобы это имело место при решении задач, как и в первом случае, исходную числовую информацию масштабируют. Однако в последнем случае масштаб М_х подбирают таким, чтобы масштабное число не имело дробной части.

Естественная форма представления числовой информации обладает рядом недостатков.

Отметим основные из них:

1. При вводе исходной информации в ЭВМ необходимо масштабировать все данные и запомнить все выбранные масштабы вне ЭВМ.

2. При выполнении операций сложения и вычитания необходимо следить за тем, чтобы масштабы чисел, участвующих в операции, были бы одинаковыми.

В противном случае результат операции будет неверным. Так как машина не имеет информации о масштабах чисел, участвующих в операции, выравнивание масштабов человек должен проводить вручную. При выполнении операции умножения порядок масштаба произведения равняется сумме порядков масштабов сомножителей, а при выполнении операции деления порядок масштаба частного есть разность порядков масштабов делимого и делителя. Это так же должен учитывать человек, решающий задачу на ЭВМ c использованием естественной формы представления числовой информации.

Кроме того, необходимо внимательно следить, чтобы в процессе решения задачи ни один из промежуточных результатов не выходил бы за пределы тех двухпозиционных элементов, которые отведены в машине для записи цифровых разрядов результатов.

Рассмотрим простой пример. Пусть на ЭВМ необходимо вычислить величину y по формуле y=ax+b при следующих возможных значениях a, b, x: a=1,2; b=3,5; 0<x<7,5. Введем масштабы: , , и .

В ЭВМ будем вводить масштабные числа: =0,12; =0,35 и , величина которого будет лежать в пределах 0¸0,75.

Проверим, все ли мы учли. Для этого подставим выбранные масштабы в исходное уравнение

У первого слагаемого масштаб 10², а у второго слагаемого - 10¹. Чтобы правильно сложить, необходимо выравнить масштабы. Поэтому для коэффициента b выберем масштаб не 10¹ как раньше, а 10²:

, где .

Получаем

.

Теперь необходимо проверить, а не будет ли какой-нибудь промежуточный результат по абсолютной величине превышать допустимый диапазон (в данном случае диапазон дробных чисел должен лежать в пределах от 0 до 1, но ни в коем случае не равняться 1).

Итак, все необходимые требования соблюдены. Остается теперь ввести в ЭВМ масштабированные числа , и и запомнить масштаб M_y=10². ЭВМ по программе рассчитает выражение и выдаст в качестве результата вычислений. Зная масштаб M_y=10², находят истинный результат .

Даже такой простой пример позволяет оценить естественную форму представления числовой информации с точки зрения человека, решающего задачи на ЭВМ , как весьма неудобную. Положительным свойством такой формы представления информации является малый расход оборудования на представление числовой информации и высокая производительность арифметико-логического устройства процессора, вытекающая из простоты логики производства операции в естественной форме (значительная часть работы заранее проделана вручную при составлении масштабных уравнений).

При использовании полулогарифмической формы любое число X представляется в виде:

,

где S - основание системы счисления; P_Х - целое число, называемое порядком числа X; m_Х - мантисса числа.

Мантисса m_X, так же как и масштабированное число естественной формы, должна лежать в пределах 0 m_X<1. В ЭВМ вводится не только значение мантиссы m_Х числа, но и значение порядка P_Х.

Нетрудно заметить, что представление числа в полулогарифмической форме неоднозначно. Так, например, число X=68,5 можно представить и как X=10²×0,685, и как X=10⁴×0,00685. В первом случае P_Х=2, m_Х=0,685; во втором случае P_Х=4 и m_Х=0,00685.

Для получения однозначного представления числа в полулогарифмической форме на величину мантиссы числа m_Х накладывают ограничения S^-1m_Х1. Мантиссу, удовлетворяющую указанному неравенству, называют нормализованной мантиссой. Так как в ЭВМ при использовании полулогарифмической формы записывается и величина мантиссы, и величина порядка, то такие операции, как выравнивание порядков при сложении и вычитании, суммирование порядков при умножении, вычитание порядков при делении выполняет сама ЭВМ. На долю человека остается лишь ввод исходной информации в полулогарифмической форме.

Полулогарифмическая форма наиболее удобна при проведении на ЭВМ научно-технических расчетов, в то время как естественная форма предпочтительна при решении задач логического характера. Поскольку задачи логического характера составляют 80-90% от общего числа решаемых на ЭВМ задач, то естественная форма является основной формой представления числовой информации.

В ЭВМ общего назначения используются обе формы представления числовой информации. В системе команд таких машин имеется группа команд, выполняющих операции в естественной форме (команды с фиксированной запятой) и группа команд, выполняющих операции в полулогарифмической форме (команды с плавающей запятой).