19) Геометрические приложения определенного интеграла.

1) Вычисление площади плоских фигур

а) фигура ограничена графиков неотрицательной функции y=f(x), осью ох и прямыми х=а, х=b

Пример:

Y=1/2 +1, а=-2, b=3

S= = +x (3)│(-2) = 10

S

y y=f(x)

a b x

б) фигура ограничена графиком отрицательной функции, осью ох, прямыми х=а, х=b

S= -

y

S

a b x

y=f(x)

в) фигура ограничена графиком

функции несколько раз меняющей знак, осью ох, прямыми х=а, х=b. В таком случае, разбиваем отрезок [a,b] на части, в которых f(x) не меняет знак.

y Тогда S=- + - + - .

+ +

а - c d - e f - b x

г) фигура ограничена графиками 2ух непрерывных функций y=f(x) и y=g(x).

S =

y y=f(x)

S y=g(x)

a b x

2) Вычисление объема

y

0 x

Пусть тело, полученное вращением вокруг оси ОХ линии y=f(x). Обозначим через S(x) площадь круга, полученного в сечении этой фигуры плоскостью перпендикулярной оси ОХ и проходящей через точку х. Тогда его радиус R равен f(x), а площадь S(x)=П = П (x)

Объём тела вращения, ограниченного сечениями х=а, х=b равен

V= = П (x)dx

20) Приближенное вычисление определенного интеграла. Методы интегрирования.

1) Формула прямоугольников

y y=f(x)

y0 y1 yn-2 yn-1 yn

X0=a x1 x2 xn-2 xn-1 xn=b x

Cчитаем интеграл . Разбиваем отрезок [a,b] на n равных частей [x0,x1], … , [xn-1,xn], x0=a, xn=b.

Заменяем f(x) ступенчатой функцией и получаем на плоскости n прямоугольников с одинаковыми основаниямию Сумма их площадей равна

S0=y0(x1-x0)+y1(x2-x1)+ … + y(n-1)(xn-x(n-1))

Длина основания каждого из прямоугольников равна x1-x0=x2-x1=b-a/n

Поэтому S0=b-a/n(y0+y1+ …+ yn-1)

Приближенное значение интеграла равно S0, т.е.

=b-a/n(y0+y1+ … + yn-1)

2) Формула трапеции

См. график выше

Чтобы посчитать интеграл по формуле трапеции, мы заменим график функции f(x) на отрезке [a,b] ломанной линией. Формула площади одной трапеции S= h

Как и в случае формулы прямоугольников, отрезок [a,b] разделим точками x0, x1, … , xn на n равных частей.

Обозначим h=b-a/n=x1-x0=x2-x1= … = xn-1-xn

Сумма площадей всех трапеций равна h(y0/2+y1+y2+ … +yn-1+yn/2)

Отсюда  =(b-a)/n((yo+yn)/2+y1+y2+ … +yn-1)