12. Моменты случайных величин.

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

   Если дана случайная величина   определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• -м начальным моментом случайной величины   где   называется величина

если математическое ожидание   в правой части этого равенства определено;

• -м центральным моментом случайной величины   называется величина

• -м факториальным моментом случайной величины   называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью   имеем:

если 

а для дискретного распределения с функцией вероятности 

если 

• Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию  :

• Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов   то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

13. Равномерное распределение случайных величин. Плотность распределения.Вероятность попадания на интервал.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность имеет следующий вид:            График плотности распределения показан на рис. 2.9.                  φ(х)      

Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

Плотность распределения случайной величины   определяется по формуле . Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки:   (площадь под кривой равна 1).

15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Может быть вычислена двумя способами:

1) через функцию распределения 

2) через плотность распределения 

14. Распределение Бернулли.

случайная величина   имеет распределение Бернулли с параметром  , и пишут:  , если   принимает значения 1 и 0 с вероятностями   и  соответственно. Случайная величина   с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха  : ни одного успеха или один успех. Таблица распределения   имеет вид:

	0	1

Функция распределения случайной величины   такова:

 

15. Распределения Пуассона.

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и приp –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m

может быть написан, если положить p = a/n, в виде

или

Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению сn. Произведение

весьма близко к единице. Это же относится к величине

Величина

очень близка к e^–a. Отсюда получаем формулу:

Рис. 27.3. График распределения Пуассона при p = 0.05 и n = 10