7. Деформация смятия

При работе конструкций (особенно в динамическом режиме) в элементах соединений (болтовых, шпоночных и др.) возникает деформация смятия. Сечение элемента искажается, например, круглое сечение становится овальным, боковая поверхность шпонки увеличивается в размерах, при этом уменьшается ширина шпонки и т.д. В результате в соединении появляются не допустимые зазоры и люфты. Поэтому заклепки, болты, шпонки и др. кроме расчета на сдвиг, проверяют на смятие.

Р асчетная схема заклепки на смятие показана на рис.1.11.

Боковая поверхность заклепки сминается (сжимается), следовательно на поверхности возникают нормальные напряжения σ_см. Условие прочности запишем в виде

Рис.1.11 σ_см = F/А_см ≤ [σ]_см (1.10)

- условие прочности на смятие

Очевидно, что смять (раздавить) стержень труднее, чем его разорвать. Следовательно [σ]_см > [σ]. Рекомендуется [σ]_см ≈ 2[σ].

Осталось определить А_см.

Сминается боковая поверхность заклепки. При разных толщинах листов наибольшая деформация будет в зоне тонкого листа. А вот какая часть окружности попадет под смятие совершенно не очевидно. Считается, что эта часть будет не меньше d. Следовательно можно записать А_см = h_min * d.

Деформация смятия – проверочный вид деформации, то есть все материалы, размеры и силы известны. Ваша задача ответить на вопрос – выдержит или нет ?. Если ответ будет отрицательным, нужно увеличить А_см за счет d и h_min или количества заклепок.

Для практики рекомендую составить для себя несколько расчетных схем и разобрать их в численном виде.

7. Геометрические характеристики сечений

Это вспомогательный материал, но то, что мы рассмотрим в этом параграфе, потребуется для решения практических задач в деформациях кручения и изгиба, а также при расчетах на устойчивость. Не пытайтесь дать физические ассоциации рассматриваемым характеристикам. Невозможно представить геометрическую характеристику плоского сечения с кубической размерностью или размерностью в 4-й степени. Воспринимайте это как математическую абстракцию, необходимую нам для решения практических задач.

S_x = у* dA = А*y_с –

называется статическим моментом площади сечения относительно оси х.

S_y = х* dA = A*х_с –

называется статическим моментом площади сечения относительно оси у.

Эти моменты позволяют определить координаты центра тяжести составного сечения.

х_с = S_y/А; y_с = S_x/А

Jx = y²*dA –

называется осевым моментом инерции площади сечения относительно оси х.

Аналогично Jy = х²*dA - относительно оси у.

Jр = ρ²*dA - называется полярным моментом инерции площади сечения.

На рис.1.12 показано произвольное сечение, в котором выделена маленькая площадь dA.

Запишем Jр = ρ²*dA = ( х² + y²)*dA = Jу + Jx.

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

Рис.1.12

Рассмотрим несколько простых сечений.

Круглое сечение (рис.1.13, а).

Jр_o = ρ²*dA =

ρ²* 2*π*ρ*dρ = π*r⁴/2 = π*d⁴/32 ≈ 0,1 d⁴

Рис.1.13

Jx_o = Jу_o = Jр_o/2 = 0,05 d⁴

Прямоугольное сечение (рис.1.13, б)

Jx_ڤ = y²*dA = y²*b*dy = b*h³/12; Jy_ڤ = h* b³/12

Составное сечение (рис.1.13, в)

Момент инерции составного сечения относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции отдельных элементов сечения относительно собственных центральных осей, плюс сумма произведений площадей элементов на квадраты расстояний от выбранной оси до собственных осей элементов.

Для сечения (рис.1.13, в) получим

Jx_∑ = Jx + Jx₁ + Jx₂ + А₁*(Н/2 + h₁/2)² + А₂*( Н/2 + h₂/2)² =

= В*Н³/12 + b₁*h₁³/12 + b₂*h₂³/12 + b₁*h₁*(Н/2 + h₁/2)² +

+ b₂*h₂*( Н/2 + h₂/2)².

Jy_∑ = Jy + Jy₁ + Jy₂ = H*B³/12 + h₁* b₁³/12 + h₂* b₂/12.

Моменты сопротивления сечения (W).

Моменты сопротивления сечения определяются следующим образом:

берется соответствующий осевой или полярный момент инерции и делится на максимальное расстояние от оси до периферии сечения.

Моменты сопротивления сечения изгибу (Wх или Wу).

Определим Wх и Wу для сечений, приведенных на рис.1.13.

Круглое сечение.

Wх_о = Wу_о = 2Jx_o/ d = 0,1 d³

Прямоугольное сечение

Wх_ڤ = 2Jx_ڤ/ h = b*h²/6. Wу_ڤ = 2Jу_ڤ/ b = h*b²/6.

Составное сечение

Для верхних волокон

Wх_∑в = Jx_∑/( Н/2 + h₁)

Для нижних волокон

Wх_∑н = Jx_∑/( Н/2 + h₂)

Для элемента 1

Wу₁ = 2Jy_∑/ b₁

Для элемента 2

Wу₂ = 2Jy_∑/ b₂

Момент сопротивления сечения кручению (Wр)

Мы с вами будем рассматривать кручение только круглых сечений, для которых

Wр_о = 2Jр_o/ d = 0,2 d³

Если сечение кольцевое (труба) с диаметрами d1 – внутренний диаметр; d2 – внешний диаметр, то Jр = 0,1(d2⁴ - d1⁴), соответственно

Wр = 2Jр/ d2 = 0,2*(d2⁴ - d1⁴)/ d2

В каких видах расчетов нам потребуются приведенные выше геометрические характеристики сечений ?

Wх или Wу – входит в условие прочности на изгиб.

Wр - входит в условие прочности на кручение.

Jx или Jy – нужен при определении перемещений в деформации изгиба.

Jр - – нужен при определении углов закручивания в деформации кручения.

Для стандартных профилей (двутавр, швеллер) Jx; Jy; Wх; Wу даны в любой книге по сопротивлению материалов.