В случае уравнения (3.54) этот вариант равен произведению , поскольку . Значит, , т. Е. Можно определить тип кривой второго порядка непосредственно по коэффициентам общего уравнения (3.49)
при
кривая будет эллиптического типа (эллипс
или окружность, точка, мнимый эллипс,
мнимая окружность; при этом окружность
мы будем иметь только при
и
);
при
– гиперболического типа (гипербола,
пара пересекающихся прямых);
при
– параболического типа (парабола или
пара параллельных прямых – различных
вещественных, совпавших или мнимых).
Инвариант
,
от знака которого, как мы видим, зависит
тип кривой второго порядка, называют
дискриминантом
кривой.
Инвариант
не единственный: другим инвариантом
является сумма
.
Итак, окончательный итог нашего исследования: существует только три типа кривых второго порядка (кривых в собственном смысле этого слова): эллипс (частным случаем которого является окружность), гипербола и парабола. Уравнение второй степени относительно и не может определять на плоскости ничего другого, кроме этих кривых и перечисленных выше случаев распада и вырождения.
В заключении этой главы рассмотрим пример исследования и построения кривой второго порядка по ее уравнению вида (3.49).
Пример.
Дана кривая:
.
Так как
,
то кривая – эллиптического типа.
По формуле (3.53) определяем угол поворота осей :
;
по
тангенсу определяем
:
.
Выберем в правой
части знак минус (при этом будем иметь
и сам угол
острый). Теперь по
находим
и
(в силу выбора угла
они оба положительны):
,
.
Используя соотношение (3.42), записываем формулы преобразования координат:
,
.
Подставляя эти значения и в уравнение кривой, приводим его к виду:
.
После сокращения всех членов полученного уравнения на 5 находим:
.
Дополняем члены
с
и
до полных квадратов:
,
откуда, деля все члены на 36, приходим окончательно к уравнению:
,
определяющему
эллипс с полуосями
и
,
центр которого по отношению к координатным
осям
и
находится в точке
и оси которого параллельны этим осям.
Расположение эллипса в старой и в новой системе координат представлено на рис. 3.17.