Кривые второго порядка

Геометрическое место точек называется алгебраической кривой, если левая часть его уравнения в декартовых координатах после упрощения и переноса всех членов в одну часть равенства будет многочленом относительно x и y. Степень этого многочлена, т. е. наибольшая из сумм показателей степеней x и y членов многочлена, называется порядком этой кривой. Можно доказать (это будет ниже доказано только для кривых второго порядка), что порядок алгебраической кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости; иными словами, степень уравнения данной кривой остается одной и той же, к какой бы системе прямоугольных координат ее ни относить.

Всякое уравнение вида , т. е. уравнение первой степени относительно x и y, всегда определяет на плоскости некоторую прямую; таким образом, кривые первого порядка – это прямые линии.

К кривым второго порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Кроме того, в некоторых случаях уравнение второй степени относительно x и y может определять, как будет показано ниже (см. § 3.6), две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Кривые второго порядка – эллипс, гипербола и парабола – играют большую роль в прикладных вопросах. Напомним, что планеты солнечной системы в соответствии с первым законом Кеплера движутся вокруг Солнца по эллипсам; по эллипсам же движутся вокруг планет их спутники (в частности, искусственные спутники Земли); наконец, кометы, зашедшие в солнечную систему из мирового пространства, могут двигаться вокруг Солнца либо по эллипсам, либо по параболам, либо по гиперболам в зависимости от значения скорости, с которой комета приближается к Солнечной системе.

Кривые второго порядка начнем изучать с простейших из них – окружности.

§ 3.1. Окружность.

Как известно, уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

.

(3.1)

Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести в левую часть равенства, то уравнение примет вид:

(3.1')

.

Геометрический смысл уравнения не изменится, если все его члены умножить на один и тот же, отличный от нуля и не зависящий от и множитель ; введем обозначения – , – , .

Уравнение (3.1') запишется тогда в виде:

(3.2)

(3.3)

.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (3.2) является уравнением некоторой окружности?

Чтобы ответить на этот вопрос, проделаем обратное преобразование уравнения (3.2) к виду (3.1), считая коэффициенты A, D, E и F произвольными (но ).

Разделим все члены уравнения (3.2) на А и введем обозначения: , , ; тогда уравнение (3.2) примет вид:

(3.2')

.

Дополняя члены с x и y до полных квадратов и перенося член направо, придадим уравнению (3.2') вид:

.

Правая часть последнего уравнения может быть числом положительным, отрицательным или нулем.

1. Если , то положим .

Уравнение (3.3) запишется в виде:

(3.3')

и является, как известно, уравнением окружности радиуса R с центром в точке .

2. Если , то уравнение (3.3) принимает вид:

(3.3'')

.

Ему удовлетворяют только значения , (сумма двух квадратов может быть равна нулю только тогда, когда одновременно равен нулю каждый из них); таким образом, уравнению (3.3'') удовлетворяет единственная точка плоскости . Но, впрочем, можно говорить, что уравнение (3.3'') и в этом случае является уравнением окружности, но окружности, выродившейся в точку (окружности с нулевым радиусом).

3. Если , то полагая , приводим уравнение (3.3) к виду:

(3.3''')

.

Поскольку сумма квадратов двух вещественных чисел не может быть числом отрицательным, то на плоскости xOy не существует точек, которые удовлетворяли бы уравнению (3.3'''). Поэтому уравнение (3.3''') не определяет никакой кривой; иногда говорят, впрочем, что уравнение (3.3''') является уравнением мнимой окружности.

Только учитывая это последнее замечание, можно говорить, что уравнение (3.2) всегда определяет окружность (вещественную, выродившуюся в точку или мнимую).

Примеры.

1. Уравнение x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 приводится к виду (x – 2)² + (y + 3)² = 25 и определяет окружность радиуса R = 5 с центром в точке С(2;–3).

2. Уравнение x² + y² + 2x + 1 = 0 приводится к виду (x + 1)² + y² = 0 и определяет единственную точку С(–1;0).

3. Уравнение x² + y² + 4x + 2y + 7 = 0 приводится к виду (x + 2)² + (y + 1)² = – 2 и никакой вещественной кривой не определяет (мнимая окружность).