Пятый тип задач на касательную - уравнение общей касательной нескольких кривых

Говорят, что прямая y=kx + b является общей касательной графиков функций y=f₁(x) и y=f₂(x), если она касается как одного, так и другого графиков, но не обязательно в одной и той же точке.

Правило.

Функции y=f₁(x) и y=f₂(x) имеют в точке пересечения M(x₀;y₀) общую невертикальную касательную, если

f₁’(x_{0) =} f₂^’(x₀)

ЗАДАЧА. Докажите, что параболы y₁=3x²-5x-2 и y₂=2x²-x-6 имеют в их общей точке общую касательную. Найти уравнение этой общей касательной.

1. Найдем точку пересечения парабол

3x²-5x-2 = 2x²-x-6

x²-4x+4 = 0

(x-2)² = 0

x = 2

y(2)= 2·4-2-6=0 y(2)=3·4-5·2-2=0

значит, у парабол одна точка пересечения (2;0)

2. Теперь перейдем к составлению уравнений касательных

y₍₁₎=6x -5 y₍₁₎(2) = 12-5=7

y₍₂₎=4x-1 y₍₂₎(2) = 8-1=7

Получим уравнение касательной

y=0+7(x-2)

y=7x-14

Ответ: y=7x-14

ЗАДАЧА. Найти уравнение всех общих касательных к графикам функции y=x²+1 и y=4x²-2

1. Составим уравнение касательной в точке x₀ = a к графику

y=x²+1

y(a)=a²+1

y^’=2x

y^’(a)=2a

Получим уравнение касательной

y=a²+1+2a(x-a)

y=a²+1+2ax-2a²

y=2ax-a²+1

2. Составим уравнение касательной в точке с абсциссой x₀=b к графику y=4x²-2

y(b)=4b²-2

y^’=8x

y’(b)=8b

Получим уравнение касательной

y=4b²-2+8b(x-b)

y= 4b²-2+8bx-8b²

y=8bx-4b²-2

3. Уравнения прямых совпадают, если угловые коэффициенты и свободные члены равны, т.е.

Подставим a=4b во второе уравнение, получим

-16b² +1 = -4b² -2

12b² = 3

b² =

Получим уравнения касательных

y=4x-3 y=-4x-3

Ответ: y=4x-3 y=-4x-3

Шестой тип задач на касательную – расстояние между кривыми.

Пусть дана функция y = f(x) и прямая y = kx +b, тогда можно составить уравнение касательной, параллельной данной прямой. Проведенная касательная разделит плоскость на две части: в одной из них будет находиться заданная прямая, а в другой график функции y = f(x).

Кратчайшее расстояние между кривой y = f(x) и прямой y = kx +b можно посчитать по формуле :

=

Задача. Найти кратчайшее расстояние между параболой y = x² и прямой y =

1. Убедимся, что графики не имеют общих точек, для этого решим уравнение:

x² = ,

3x² – 4x +6 = 0,

D = 16-72< 0.

Нет корней, нет общих точек.

2. Найдем точку, в которой касательная параллельна прямой y =

y = x²,

y^’ = 2x,

2x = ,

x= ,

x₀ = ,

y₀ = .

3. Получим касательную y =

y =

Прямая y = и парабола y = x² лежат по разные стороны от касательной y = , тогда расстояние от прямой y = до параболы y = x², это расстояние от точки M (x₀;y₀), лежащей на параболе, до прямой y = , находим его по формуле

= = .

Ответ:

Задача. Найти расстояние между касательными к графику функции , образующими с положительным направлением оси Ох угол 45⁰.

1. y^’ = =

2. y₀^’ = tg 45⁰

3. = 1

x= 3 x= 1

x₀= 3 x₀= 1

4. Составим уравнение касательной в точке x₀= 3

5. y(3) = 0

y = 0 + 1 (x-3)

y = x-3

6. Составим уравнение касательной в точке x₀= 1

7. y(1) = 2

y = 2 + 1 (x-3)

y = x+1

8. Пусть y = x +1 – данная прямая,

- данная кривая,

y = x-3 - данная касательная,

=

Ответ :