Третий тип задач на касательную – это геометрический смысл производной функции в точке.

Вспомним геометрический смысл производной в точке, т.е. если прямая y= kx+ b является касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=x₀, то величина угла φ между этой прямой и положительным направлением оси Ох удовлетворяет соотношению

k=tgφ = f’ (х₀)

Отсюда находим, что

№ 814г Мордкович А.Г.

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = в точке x₀ = 1

1. y ^’ = = =

2. y₀^’ = y^’(1) =

3. k = y₀^’ =

Ответ: 0,75

Задача. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции y = в точке х₀=1

1. =

2. y₀’ = y(1) =

3. tg = y₀’ =1

Ответ: tg = 1

Правило.

Углом между графиком функции y=(f) в точке x₀ и осью 0х называется угол между положительным направлением оси 0х и касательной к графику функции в точке х=х₀ такой, что f(x₀)=0.

Задача. Под каким углом график функции y=sinx

пересекает ось абсцисс в точке х₀=0?

1) y’=cos x

2) y’₀ = y’(0) = cos0 = 1

3) tg = y₀’ =1

4) tg = 1

=45⁰

Ответ : 45⁰

Задача. Найти координаты точек пересечения с осями координат тех касательных к графику функции y = , у которых угловой коэффициент равен 4.

1. Пусть (х₀; f(x₀)) – точка графика функции y = , в которой касательная к ее графику имеет угловой коэффициент, равный 4, а y = kx + b уравнение этой касательной.

2. Тогда k = f ^‘(x₀) = 4

f ^’(x) = =

3. f ^’(x₀) = = 4

(x₀+1)²=1

x₀+1=1 x₀+1= -1

x₀=0 x₀= -2

Составим уравнение касательной в каждой точке х₀

4. Пусть х₀=0

f(x₀)=-2, тогда получим уравнение касательной

у = -2+4(х-0)

у = 4х-2

5. Пусть х₀=-2

f (x₀) = = 6,

тогда получим уравнение касательной

у = 6 + 4(х+2)

у = 4х + 14

6. Найдем координаты точек пересечения касательной

у=4х-2 с осями координат

x=0, y =0

y =-2 x =0,5

получим точки (0;-2); (0,5 ;0)

7. Найдем координаты точек пересечения касательной у=4х + 14 с

осями координат

х=0 у = 0

у=14 х= -3,5

получим точки (0; 14); (-3,5; 0)

Ответ: (0; -2); (0,5; 0); (0; 14); (-3,5; 0)

№ 830 Мордкович А.Г.

На графике функции y = x³ -3x² +4x +1 найдите точку, в которой касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45⁰. Составьте уравнение этой касательной.

1. Пусть (xо;f(xо)) - точка графика функции y =x³-3x²+4x+1, в которой касательная к ее графику образует с положительным направлением оси Ox угол 45^о, а y=kx+b – уравнение этой касательной, тогда k=f’(x_о)=tg45^о =1

2. Найдем f’(x) =(x³-3x²+4x+1)’ =3x²-6x+4

3. Получим уравнение

f’(x_о) =1

3x²-6x+4 =1

3x²-6x+3 =0

x²-2x+1 =0

(x-1) ² =0

x-1 =0

x =1

4) Составим уравнение касательной

y_о = y(1) =1-3+4+1=3

y = 3+1(x-1)

y = 3+x-1

y = x+2

Ответ: x_о = 1; y = x+2

Правило:

если даны две прямые y = k₁x+b₁ и y = k₂x+b_{2 ,} (k ≠ 0, k₂ ≠ 0), то величина угла φ ( 0 ≤ φ ≤ ) между этими прямыми находится из соотношений:

tgφ = если k₁ ∙ k₂ ≠ -1

φ = , если k₁ ∙ k₂ = -1

№ 527. Алимов Ш.А.

Под каким углом пересекаются графики функций

y = ln (1+x) и y = ln (1-x) ?

1). Найдем точки пересечения графиков

ln (1+x) = ln (1-x)

1+x = 1-x

x = 0

2) Составим уравнение касательной к y = ln (1+х) в точке х_о = 0

у_о = ln1 = 0

у’ =

у’_о = = 1

Получим уравнение касательной

у = 0+1(х-0)

у = х

k = 1

3) Cоставим уравнение касательной к кривой у = ln (1-x) в точке

x_о = 0

у_о = ln1 = 0

у’ =

у’_о = = -1

Получим уравнение касательной:

у = 0+1(х-0)

у = -х

k = -1

4) Найдем угол между касательными

k₁ ∙k₂ = -1

φ =

Ответ:

Задача: Прямая у = - х- является касательной к линии, заданной

уравнением у = х⁴ – х. Найти координаты точек касания.

1. Найдем точки касания

х⁴ – х = - х-

16х⁴ – 32х = -24х -3

16х⁴ – 8х + 3 = 0

Корнем этого уравнения является х = , проверим это по схеме Горнера

x_о =

2. Это сложное уравнение можно заменить более простым решением. Из

условия задачи следует, что у’(x_о) = - получим уравнение

∙4 x_о³ -1 = -

2 x_о³ =

x_о³ =

x_о =

3) Найдем у_о

у_о = ∙ ⁴- = - = - = -

Значит точка касания

Ответ:

Правило:

для того, чтобы прямая y = kx+b была касательной к графику функции

y = f(x), необходимо и достаточно существования хотя бы одного числа x_о, для которого выполняется система

Задача: При каких значениях параметра а , прямая у = ах + 2 является

касательной к кривой у = ln х ?

Для того, чтобы прямая y = ax+2 ,была касательной к кривой y= lnx, должна выполняться система

Ответ: а=е^-3

Задача. Под каким углом к оси О_х наклонена касательная к графику функции у = x² ∙ln x в точке с абсциссой x_о = 1 ?

1. Найдем у’

у’ = 2x ln х + х² ∙ = 2x ln х + х

2. Найдем у’_о = у’(1)

у’_о = 2∙1∙ln 1 + 1 = 2∙0+1 =1

3. Найдем у’_о = tg φ

tg φ = 1

φ =45⁰

Ответ: φ =45⁰

Задача. В каких точках угловой коэффициент касательной к графику

функции у = 2х³ – 2х² + х – 1 равен 3?

1. Найдем у’

у’ = 2∙3х² – 2∙2х + 1 = 6х² – 4х + 1

2. По условию задачи у’_о = 3

6x_о² - 4x_о + 1 = 3

6x_о² - 4x_о – 2 = 0

3x_о² - 2x_о – 1 = 0

x_о = 1 x_о = -

3. y(1) = 2 – 2 + 1 – 1 = 0

Получим точку (1:0)

4. y(- ) = 2∙(- ) – 2∙ - - 1 = - - - = = -

Получим точку (- ; - )

Ответ: (1:0); (- : - )