5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая . Они могут быть 1) параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
Выясним, как зная уравнения плоскости и прямой, определить их взаимное расположение.
Пусть : и : .
Тогда
– нормальный вектор плоскости,
– направляющий вектор прямой.
Если плоскость и прямая параллельны
или прямая
целиком лежит в плоскости
,
то векторы
и
– перпендикулярны. Следовательно
, (10)
или в координатной форме
. (11)
Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то геометрически это означает, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
Ч
астным
случаем пересечения прямой и плоскости
в одной точке является перпендикулярность
прямой и плоскости. В этом случае
и
будут параллельны, что аналитически
означает справедливость равенства
.
Теперь укажем условие, которое позволит различать случай параллельности прямой и плоскости и случай, когда прямая принадлежит плоскости. Пусть прямая лежит в плоскости . Тогда любая точка прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В частности,
,
где – некоторая фиксированная точка прямой . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, следовательно, для такой прямой
.
Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны выполняться два условия:
и ;
если же прямая параллельна плоскости, то
, но ,
где – некоторая фиксированная точка прямой .
В заключение этого пункта вернемся к случаю, когда прямая и плоскость пересекаются в одной точке, и получим формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ.
Углом между прямой
и плоскостью
называется угол
между прямой
и ее проекцией на плоскость
.
Из определения следует, что угол между
прямой и плоскостью не превышает
,
т.е. угол острый.
Пусть
– угол между прямой
и плоскостью
,
– их точка пересечения.
Через
перпендикулярно плоскости
проведем прямую
.
Для
вектор
является направляющим и, следовательно,
острый угол
между прямыми
и
может быть найден по формуле
.
Но
,
–
формула для определения угла между
прямой
и плоскостью
.