3. Взаимное расположение прямых в пространстве
Если в пространстве даны две прямые, то они могут 1) быть параллельны, 2) пересекаться, 3) скрещиваться.
Выясним, как по уравнениям прямых определить их взаимное расположение.
Пусть прямые
и
заданы каноническими уравнениями:
:
,
:
.
Е
сли
прямые параллельны, то их направляющие
векторы
и
коллинеарные. Так как коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то условие параллельности прямых будет иметь вид:
. (7)
Т
еперь
рассмотрим две пересекающиеся прямые.
Такие прямые можно поместить в одну
плоскость. Но это значит, что векторы
,
и
будут компланарны. Следовательно,
, (8)
или, в координатной форме,
. (9)
Таким образом, если прямые и не параллельны и для них выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они пересекаются.
Так как скрещивающиеся прямые нельзя поместить в одну плоскость, то для скрещивающихся прямых условие (8) не выполняется. Следовательно, если прямые и не параллельны и для них не выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они скрещиваются.
НАПРИМЕР. Прямые
:
и
:
будут
параллельны, так как их направляющие
векторы
и
удовлетворяют условию (7):
.
Прямые
:
и
:
не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):
Следовательно, прямые и – пересекаются.
И, наконец, рассмотрим прямые
:
и
:
.
Они не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них не выполняется условие (9):
Следовательно, прямые и – скрещиваются.
4. Задачи, связанные с взаимным расположением прямых
Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, которые связаны с взаимным расположением прямых в пространстве.
ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и проекцией прямой на любую плоскость, проходящую через прямую .
И
наче
говоря, угол между скрещивающимися
прямыми – это угол между двумя
пересекающимися прямыми, параллельными
данным.
Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:
:
и
:
.
Обозначим , – направляющие векторы первой и второй прямой соответственно.
Так как один из углов
между прямыми равен углу между их
направляющими векторами, а второй угол
,
то углы
и
могут быть найдены по формуле
,
или 
,
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.
З
АДАЧА
3. Найти расстояние от точки до прямой
в пространстве.
Пусть дана прямая
:
и
– точка, не принадлежащая этой прямой.
Обозначим
– направляющий вектор прямой
,
– точка на прямой
,
– расстояние от точки
до
.
Рассмотрим параллелограмм, построенный
на векторах
и
.
Тогда
– высота этого параллелограмма, опущенная
из вершины
.
Следовательно,
.
ПРИМЕР. Найти расстояние
от точки
до прямой
:
.
Из условия задачи имеем:
,
.
Тогда
,
,
,
,
– искомое расстояние.
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые
: и : ,
и
– расстояние между
и
.
Построим плоскость
,
проходящую через прямую
параллельно
.
Тогда
– расстояние от прямой
до плоскости
.
Найти это расстояние можно по формуле:
,
где
– общее уравнение плоскости
,
– любая точка на прямой
.
ПРИМЕР. Найти расстояние между двумя прямыми
:
и
:
.
1) Прежде всего, установим взаимное
расположение данных прямых. По условию
задачи:
и
– направляющий вектор и фиксированная
точка первой прямой,
и
– направляющий вектор и фиксированная
точка второй прямой;
.
Имеем:
1)
∦
– прямые не параллельны;
2) вычислим
:
.
Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.
2) Запишем уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно :
:
.
Тогда – расстояние от точки до плоскости :
.
Замечание. Предложенный способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми – не единственный. Можно найти это расстояние, используя векторную алгебру.
Д
ействительно,
построим на векторах
,
и
пирамиду.
Тогда
– высота пирамиды, опущенная из точки
и, следовательно,
ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть даны две пересекающиеся прямые
: и : ,
– точка пересечения прямых. Тогда
– решение системы уравнений
или, переходя к параметрическим уравнениям прямой,
ПРИМЕР. Найти точку пересечения прямых
:
и
:
.
1) Прямые и не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):
.
Следовательно, прямые и – пересекаются.
2) Найдем точку пересечения прямых. Для этого перейдем к их параметрическим уравнениям:
:
и
:
и решим систему
,
;
,
,
.
Таким образом, точкой пересечения прямых
является точка
