19 Численные методы решение алгебраических уравнений: метод секущих. Метод секущих

Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции, в таком случае можно использовать метод секущих.

Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х₀ и х₁.

Если х₀ и x₁ расположены достаточно близко друг к другу, то производную можно заменить ее приближенным значением в виде отношения приращения функции равного к отношению приращения аргумента равного (x₁ – x₀):

(2.4)

Таким образом, формула метода секущих может быть получена из формулы Ньютона (2.2) заменой производной выражением (2.4) и записана в виде:

(2.5)

Однако следует помнить, что при этом нет необходимости, чтобы значения функции и обязательно имели разный знак, как в методе половинного деления.

Процесс нахождения корня при использовании метода секущих можно считать законченным, когда выполняется следующее условие:

(2.6)

Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычислений производной левой части уравнения.

Таким образом, для реализации метода секущих необходимо:

1. Задать в явном виде уравнение , корни которого необходимо определить.

2. Определить начальные приближения х₀ и х₁, обеспечивающие быструю сходимость метода.

3. Задать точность нахождения корня уравнения .

4. Реализовать в программе итерационную процедуру, реализующую формулу (2.5).

20 Численные методы простых итераций.

Метод простых итераций

Предположим, что уравнение (1) при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду (2):

(1)

(2)

Пусть известно начальное приближение к корню , тогда подставим его в правую часть уравнения (2) и получим новое приближение (3):

(3)

Затем аналогичным образом получим и т.д.:

(4)

З аметим: тот факт, что корень уравнения , означает, что есть абсцисса точки пересечения графика с прямой .

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс будет сходиться к корню уравнения .

Рассмотрим процесс графически (рисунок 1).

Рисунок 1

Из графиков видно, что при и при возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы.

Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной функции . Чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически.

Будем считать, что в итерационной формуле (4)

(5)

где , - отклонения k и k+1приближения к корню. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня , то функцию можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула (4) примет вид (6):

(6)

но так как является корнем уравнения, то и, следовательно (7),

(7)

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие (8)

(8)

или

Переход от уравнения (1) к уравнению (2) можно осуществить разными способами в зависимости от вида функции . При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (8).

Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1) к уравнению (2).

Умножим левую и правую части уравнения (1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное . При этом корни исходного уравнения не изменятся (9):

(9)

Введем обозначение (10)

(10)

и перейдем от соотношения (9) к уравнению (2).

Произвольный выбор константы позволит обеспечить выполнение условия сходимости (8). Желательно выбрать величину такой, чтобы , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней. В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса (11)

(11)

где - заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция выбрана в виде (1.33), то производная по от этой функции будет (12)

(12)

Наибольшую скорость сходимости получим при , тогда

и итерационная формула (4) переходит в формулу Ньютона (13)