77.Распредение Пирсона

Пирсона кривые (Пирсона распределение) — название семейства непрерывное распределений вероятностей (распределений Пирсона),плотности которых p(x) удовлетворяют дифференциальному уравнению  , где параметры a,b₀,b₁,b₂ —действительные числа. Более точно, кривыми Пирсона называются графики зависимости p(x) от x. Распределения, являющиеся решениями этого уравнения, совпадают с предельными формами гипергеометрического распределения.

Классификация

Кривые Пирсона классифицируются в зависимости от характера корней уравнения b₀ + b₁x + b₂x². Семейство кривых Пирсона составляют 12 типов и нормальное распределение. Многие важнейшие распределения в математической статистике могут быть получены с помощью преобразований из уравнения выше.

Систематическое описание типов кривых Пирсона дано У. Элдертоном (W. Elderton, 1938). В упрощенном виде классификация по типам такова.

Тип I:  ; частный случай — бета-распределение 1ого рода.

Тип II:   (вариант кривых Пирсона типа I); частный случай — равномерное распределение.

Тип III:  ; частные случаи — гамма-распределение и хи-квадрат-распределение.

Тип IV:  .

Тип V:   (сводится преобразованиями к типу III).

Тип VI:  ; частные случаи — бета-распределение 2ого рода и Фишера-Снедекора распределение (F-распределение).

Тип VII:  ; частный случай — Стьюдента распределение (t-распределение).

Тип VIII:  .

Тип IX:  .

Тип X:  , — Показательное распределение (экспоненциальное).

Тип XI:  ; частный случай — Парето распределение.

Тип XII:   (вариант типа I).

Наиболее важны в приложениях типы I, III, VI и VII.

Значение

Всякая кривая Пирсона однозначно определяется своими первыми четырьмя моментами  , если они конечны. Это свойство семейства кривых Пирсона используется для приближенного описания эмпирических распределений.

Метод подгонки кривой Пирсона к некоторому эмпирическому распределению состоит в следующем. По независимым результатам наблюдений вычисляют первые четыре выборочных момента, затем определяется тип подходящей кривой Пирсона и методом моментов находятся значения неизвестных параметров искомой кривой Пирсона. В общем случае метод моментов не является эффективным методом получения оценоккривых Пирсона. Проблема более точной аппроксимации распределений с помощью кривых Пирсона получила новое решение в работах Л. Н. Большева (1963) по асимптотическим преобразованиям.

• Распределения Стьюдента

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семействоабсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть   — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что  . Тогда распределение случайной величины  , где

называется распределением Стьюдента с   степенями свободы. Пишут  . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где   — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

• Распределение Стьюдента симметрично. В частности если  , то

.

Моменты

Случайная величина   имеет только моменты порядков  , причём

, если   нечётно;

, если   чётно.

В частности,

,

, если  .

Моменты порядков   не определены.

Связь с другими распределениями

• Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

.

• Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при  . Пусть дана последовательность случайных величин  , где  . Тогда

по распределению при  .

• Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть  . Тогда

.

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построениядоверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднегостатистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть  независимые случайные величины, такие что  . Обозначим  выборочное среднее этой выборки, а   выборочную оценку её дисперсии. Тогда

.