4. Напрямний вектор прямої. Канонічне рівняння прямої

Рис. 4

Розглянемо на площині xOy довільну пряму l . Нехай точка належить прямій l, i вектор , паралельний даній прямій або лежить на ній (рис. 4). Точка і вектор однозначно визначають пряму l. Вектор називається напрямним вектором прямої l .

Н ехай – довільна точка на прямій l. Розглянемо вектор . Так як вектори і колінеарні, то їх координати задовольняють відношенню

. (5)

Рівняння (5) називається канонічним рівнянням прямої.

Нехай пряма проходить через точку , паралельна осі Oy. В цьому випадку напрямний вектор має вигляд , а умова колінеарності запишеться так

.

Як відомо, у пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. Тому маємо , звідки знаходимо, що . Це і є рівняння прямої, паралельної осі Оу.

Аналогічно, якщо пряма проходить через точку , паралельна осі Oх, то її рівняння має вигляд .

5. Рівняння прямої, яка проходить через задану точку в заданому

напрямку. Пучок прямих

Нехай на площині xOy задана пряма l , яка перетинає вісь Ox в точці М. Кутом між віссю Оx і прямою l називається найменший кут, на який потрібно повернути навколо точки М проти годинникової стрілки вісь Оx, щоб вона співпала з прямою l . Якщо пряма співпадає з віссю Оx або їй паралельна, то =0.

Рис. 5

Розглянемо на площині xOy пряму l , яка не паралельна осі Oy. Її положення визначається кутом , який вона утворює з віссю х і точкою , яка належить даній прямій. За напрямний вектор візьмемо одиничний вектор , який утворює з віссю Оx кут , а з віссю Оу – кут (рис 5). Точка і вектор однозначно визначають пряму l. Так як то Тому в рівнянні (5) потрібно покласти , : тоді рівняння (5) запишемо у вигляді

(6)

Розв’язуючи (6) відносно , одержимо . Ввівши позначення , дістанемо рівняння вигляду

(7)

Число називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Я

Рис.

кщо фіксоване, то рівняння (7) називається рівнянням прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямку. Якщо – змінне, то дістанемо безліч прямих, що проходять через точку , тобто матимемо рівняння пучка прямих.

Точка називається центром пучка.

Якщо , то рівняння прямої має вигляд . Кутовий коефіцієнт у цьому випадку не визначений.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рис.

Нехай пряма, яка утворює кут з віссю Ох, перетинає вісь Оy в точці . Запишемо рівняння цієї прямої, виходячи з рівняння (7), в якому покладемо: , . У цьому випадку рівняння (7) набирає вигляду

або . (8)

Рівняння (8) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом , а ордината b – відрізком, який відсікає пряма на осі Oy. Розглянемо частинні випадки рівняння (8): якщо , то

, (9)

рівняння прямої, що проходить через початок координат;

якщо , то це означає, що , тоді

, (10)

рівняння прямої, яка паралельна осі Ох.

Якщо k=0, b=0, то одержимо рівняння осі ОХ: y=0.

Якщо пряма, яка не перпендикулярна осі ОХ, задана загальним рівнянням Ах+Вy+С=0, то розв’язавши його відносно y, дістанемо рівняння

, (11)

яке є рівняння з кутовим коефіцієнтом, де