6.3. Определение абсолютного ускорения точки

 

            Рассмотрим случай переносного вращательного движения и запишем формулу (6.5) в виде:

.                     (6.6)

Продифференцируем соотношение (6.6) по времени

.                                   (6.7)

Здесь   – абсолютное ускорение точки М;

          – вектор углового ускорения подвижной системы координат;  ;  ;  ;   – относительное ускорение точки М;

.

            Теперь из формулы (6.7) получим

.                               (6.8)

Первые два слагаемых этого равенства представляют собой в соответствии с выражением (5.22) ускорение точки подвижной системы координат, совпадающей с движущейся точкойМ, т.е. являются ее переносным ускорением  . Последнее слагаемое называют кориолисовым ускорением

.                                                (6.9)

К ориолисово ускорение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы   и  , в ту сторону, откуда поворот вектора   к вектору   на наименьший угол виден против часовой стрелки (рис. 6.2).

            Модуль кориолисова ускорения:

 

,                                        (6.10)

где  – угол между векторами   и  .

 

            Для определения модуля и направления кориолисова ускорения можно использовать правило Жуковского: «Для построения вектора кориолисова ускорения   надо спроецировать вектор   на плоскость, перпендикулярную вектору  , умножить полученную проекцию   на    и повернуть полученный вектор на  вокруг вектора   в сторону переносного вращения» (рис. 6.3). Легко проверить, что направление полученного вектора совпадает с направлением вектора  , определенным по формуле (6.9), его модуль .

             Кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:

            1) в те моменты времени, когда относительная скорость равна нулю  ;

            2) если векторы  и   коллинеарны, т.е. угол между ними  = 0 или  ;

            3) в те моменты времени, когда угловая скорость переносного движения равна нулю  .

            Итак, из уравнения (6.8) получим

.                                            (6.11)

Этот результат выражает содержание теоремы Кориолиса: «Абсолютное ускорение точки в случае переносного вращательного движения равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений».

            В общем случае переносное и относительное ускорения могут быть представлены в виде сумм касательных и нормальных составляющих, и тогда формула (6.11) примет вид:

.                                   (6.12)

            Рассмотрим случай переносного поступательного движения. Запишем формулу (6.5) так:

и продифференцируем ее по времени, учитывая, что при поступательном переносном движении  :

,

где

;

 – абсолютное, переносное и относительное ускорения точки М.

            Таким образом, при переносном поступательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений:

.                                             (6.13)

            Пример. Круглая пластина радиусом R = 60 см вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через точку О, лежащую на ее ободе, по закону  рад (рис. 6.4). По ободу пластины движется точка М, положение которой определяется координатой   см.

            Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 с.

            Положение точки М в заданный момент времени определим с помощью центрального угла

рад =  .

Найдем угловую скорость   и угловое ускорение  пластины:

4 рад/с;

 8 рад/c²  = const,

а также их модули:

.

Так как   и  , пластина вращается в сторону увеличения угла  ускоренно. Треугольник ОСМ равносторонний, поэтому ОМ = R = 60 см. Абсолютная скорость точки М:  . Проекция относительной скорости на касательную М

 см/с.

            Модуль относительной скорости

125,66 см/с.

            Модуль переносной скорости

 см/с;  .

            Модуль абсолютной скорости точки М:

=

= 321,8 см/с.

            Абсолютное ускорение точки М

.

            Проекция относительного касательного ускорения на ось М:

 – 251,32 см/с²,

его модуль

= 251,32 см/с².

            Модуль относительного нормального ускорения

= 263,17 см/с².

            Модули переносного касательного и нормального ускорений:

 см/с²;                         ;

 см/с²;         .

            Направление вектора кориолисова ускорения   получим по правилу Жуковского, повернув вектор относительной скорости   на  в направлении вращения пластины. Вектор угловой скорости переносного движения   направлен вдоль оси вращения, поэтому   и модуль кориолисова ускорения найдем так:

см/с².

            Определим проекции абсолютного ускорения на оси M и Mn, для чего спроецируем на них векторное равенство (6.14),

см/с²;

см/с².

            Модуль абсолютного ускорения точки М:

см/с².