5.5. Частные случаи вращательного движения
Вращательное
движение называют равномерным, если
угловая скорость тела не изменяется,
т.е. 
= const.
Интегрируя это соотношение, получим
уравнение равномерного вращения
,
(5.7)
где 
–
начальный угол поворота тела.
Вращательное
движение называют равнопеременным, если
угловое ускорение тела не изменяется,
т.е. 
= const,
откуда после интегрирования получим
.
(5.8)
Так
как из выражения (5.8) следует, что 
,
можно записать уравнение равнопеременного
вращения
.
(5.9)
Из двух последних равенств нетрудно получить следующее соотношение
.
(5.10)
5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси
Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиусом h. Зададим движение точки M естественным способом. Начало отсчета криволинейной координаты S выберем в точке O, где окружность пересекается с неподвижной полуплоскостью (рис. 5.4). Тогда OCM = и уравнение движения точки M примет вид:
.
(5.11)
Введем
естественную координатную систему Mn,
орты осей 
и
воспользуемся полученными в 4-й лекции
соотношениями.
Скорость точки М:
,
(5.12)
ее модуль:
.
(5.13)
Ускорение точки М имеет касательную и нормальную составляющие:
.
(5.14)
Касательное ускорение
,
(5.15)
его модуль
.
(5.16)
Нормальное ускорение
,
(5.17)
его модуль
.
(5.18)
Модуль ускорения точки М
.
(5.19)
Угол между
вектором ускорения 
и
осью n определим из соотношения:
.
(5.20)
Так как угловая скорость и угловое ускорение характеризуют движение тела в целом, из формул (5.12)-(5.20) следует, что скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения, а углы в каждый момент времени одинаковы для всех точек.
Введем
в рассмотрение векторы угловой скорости
,
углового ускорения 
и
радиус-вектор
точки M (см.
рис. 5.4). Тогда вектор скорости может
быть представлен векторным произведением
.
(5.21)
Это соотношение имеет название формулы Эйлера.
Легко
убедиться в справедливости формулы
(5.21). Действительно, правило векторного
произведения показывает, что направление
вектора 
совпадает
с направлением вектора
(см.
рис. 5.4). Его модуль:
.
Продифференцируем формулу Эйлера по времени:
или
.
(5.22)
Покажем, что две составляющие ускорения точки в формуле (5.22) являются касательным и нормальным ускорениями:
;
(5.23)
.
(5.24)
Совпадение направлений векторов в левой и правой частях равенств (5.23), (5.24) проверяют по правилу векторного произведения. Их модули:
;
.
Пример. Груз
1 подвешен на нити, намотанной на барабан
лебедки радиусом 
=
0,1 м (рис. 5.5). С барабаном жестко соединена
шестерня 2 радиусом 
=
0,15 м, которая находится в зацеплении с
шестерней 3 радиусом 
=
0,12 м.
Определить
скорость и ускорение точки М шестерни
3, находящейся на расстоянии 
=
0,08 м от оси вращения в момент времени t =
0,2 с, если груз 1 движется по закону 
(м).
Найдем
модуль скорости груза 1: 
.
Такую же скорость имеют все точки обода
барабана, поэтому модуль его угловой
скорости 
.
Скорость точки касания колес 2 и 3 
,
откуда определим модуль угловой скорости
шестерни 3
,
при t =
0,2 с: 
Модуль углового ускорения шестерни 3:
.
Определим
модули скорости v,
касательного
,
нормального 
и
полного а ускорений
точки М:
=
10·0,08 = 0,8 м/с; 
=
50·0,08 = 4 м/с2;
=
102·0,08
= 8 м/с2; 
=
8,94 м/с2.