Раздел. 6.

ОДНОМЕРНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Если все динамические и термодинамические величины газового потока являются функциями только одной координаты и времени, то такой поток называют одномерным.

Для приближенных расчетов газовых потоков по трубам пользуются упрощенной схемой: принимая вектор скорости в данном сечении трубы (или канале) направленным вдоль оси, а величины   w, p, , Т   постоянными по сечению, рассматривают их изменяющимися от сечения к сечению канала, причем закон изменения площадей сечения вдоль оси известен. В этом случае система уравнений одномерного течения будет:

Поток будем считать адиабатическим, а газ совершенным и идеальным. При этих условиях движение газа можно называть изоэнтропическим. Тогда уравнение движения перейдет в уравнение Эйлера:

У равнение неразрывности:

и ли

С помощью этих уравнений установим дифференциальные соотношения между изменением скорости и площади сечения трубы. Приведем (6.2) к виду

и возьмем от (6.3) логарифмический дифференциал. Тогда

П одставив (6.5) в (6.4), запишем:

Р азделив на   a²,   получим

– уравнение Гюгонио.

Из уравнения (6.6) вытекают следствия:

1. если   М < 1,   то знак при   dw_x   противоположен знаку при   dS,   т. е. в случае дозвукового течения газа (так же, как и в случае несжимаемой жидкости) с возрастанием площади сечения трубы скорость его движения уменьшается и, наоборот, при уменьшении сечения скорость увеличивается;

2. если   М > 1,   то знаки при   dw_x   и   dS   одинаковы по значению, т. е. в случае сверхзвукового течения газа в сужающейся трубе скорость его движения уменьшается, а в расширяющейся трубе – увеличивается. Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение   S   в равенстве (6.3), несмотря на    S,   все же тоже уменьшается, что и приводит к    w;

3. если   М = 1,     w = a_зв,   то   dS = 0;   соответствующее сечение трубы будет критическим. Условие   dS = 0   совпадает с необходимым условием экстремума площади сечения. Нетрудно понять, что   S_кр   будет минимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковое течение газа замедляется, а сверхзвуковое – усиливается. Это никак не может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении;

4. если   dS = 0   и сечение экстремально (максимально или минимально), то либо   М = 1, w = a_зв   и, следовательно, это сечение критическое, либо   М  1,   а   dw = 0. В последнем случае, каким бы ни было движение – дозвуковым или сверхзвуковым, скорость в экстремальном сечении становится тоже экстремальной: при дозвуковом течении газа – минимальной в максимальном сечении и максимальной в минимальном сечении; при сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальная, в минимальном – минимальная.

Из п. 4 становится ясной идея профилирования сопла в ЖРД. В камере сгорания ЖРД дозвуковой разгон достигает   S_кр,   а затем идет сверхзвуковое расширяющееся сопло.

Р

Рис. 40. Жидкостной ракетный двигатель

ассмотрим изменение параметров по длине сопла ЖРД (рис. 40). Конструктивно ЖРД выполняются следующим образом. Жидкое горючее и

окислитель подаются в камеру сгорания двигателя, где в результате горения топлива образуются газообразные продукты высокой температуры. В сопле они расширяются от давления в камере   P₀   до давления на срезе сопла   P₁ и вытекают в окружающую среду с большой скоростью. Истечение газов из сопла и является причиной возникновения реактивной силы двигателя. Обозначим параметры в камере сгорания, в критическом сечении и на выходе. Если в камере сгорания будет предварительный тепловой разгон, то необходимо брать параметры заторможенного потока.

С вязь между основными параметрами в камере сгорания и на выходе дается известными изоэнтропическими формулами:

где      – показатель изоэнтропического расширения газа определенного рабочего тела (т. е. при заданном топливе).

В жидкостном реактивном двигателе

В критическом сечении струи   М₁ = 1.   Следовательно, из (6.7) получим связь между параметрами в критическом сечении и в камере:

И з уравнений (6.7) и (6.8) можно получить связь между параметрами в критическом сечении и на выходе:

74