05 семестр / Лекции и семинары / Лекции (много вордовский файлов) / Плоское,с.69-72

кривые, в каждой точке которых    = 0,   называются характеристическими, а уравнение (5.12) – характеристическим.

Из сказанного следует, что для однозначного определения вторых производных   ,   нужно начальную кривую выбрать так, чтобы ни один из его элементов не совпадал с характеристиками. Таким образом, условие    = 0 является необходимым и достаточным для решения задачи Коши.

Однако для физических приложений, например для расчета сверхзвуковых газовых течений, большой интерес представляет задача определения решения по данным на характеристиках, т. е. метод характеристик. Этот метод заключается в следующем. Положим, что начальная кривая   AB   совпадает с одной из характеристик и вдоль нее равна нулю не только   ,   но и частные определители, т. е.    = _u = _s = _t = 0.   (При этом можно показать, что если    и   _t   равны нулю, то и остальные определители равны нулю.)

И з условия   _t = 0   вытекает равенство

где   p' = dp / dx;     q' = dq / dx;     y' = dy / dx.

Равенство нулю главного и всех частных определителей, как доказывается в теории систем алгебраических уравнений, означает, что решения системы (5.10), хотя и неоднозначные, но могут существовать.

Уравнения (5.11) и (5.13), определяющие условия, при которых решения для   u, s, t   существуют, хотя и не однозначные, называются условиями совместности. Геометрически первое из них представляет собой два семейства кривых – характеристик в физической плоскости   P, q,   т. е. в плоскости скоростей. Характеристики разных семейств в этих плоскостях принято называть сопряженными.

Всякое решение задачи о сверхзвуковом движении газа, найденное путем решения уравнений характеристик, и является решением основного уравнения газодинамики (5.7). Доказательство является следствием теоремы эквивалентности, в соответствии с которой уравнения характеристик (5.11) и (5.13) эквивалентны основному уравнению (5.7). С геометрической точки зрения это означает, что решение уравнений характеристик дает также отображение некоторой плоскости   x, y   на плоскость   p, q.   Таким образом, каждой точке на характеристике в плоскости   x, y   соответствует определенная точка на характеристике в плоскости   p, q.

Условия существования характеристик и их физическая интерпретация

Из (5.12) следует, что корни квадратного характеристического уравнения (5.11) могут быть вещественными или комплексными сопряженными в зависимости от выражения   B² – AC = .

Если     0,   то уравнение (5.12) дает два различных семейства вещественных характеристик;

если     0,   то имеем два совпадающих семейства характеристик, т. е. фактически одну характеристику;

если    < 0,   то имеем пару мнимых характеристик.

Так как корни характеристического уравнения (5.12) зависят от коэффициентов   A, B, C   дифференциального уравнения (5.8), то принято тип уравнения (5.8) устанавливать в зависимости от вида характеристик: если   0,   то уравнение (5.8) будет гиперболическим; если     0,   то это уравнение будет параболическим; если    < 0,   то – эллиптическим.

В спомним, что

т .е.

________________

где   w   – полная скорость   ( w =  wx² + wy² ).

Т аким образом,

Итак, для областей газового потока со сверхзвуковыми скоростями (w > a,    > 0)  уравнения будут гиперболического типа; для течения с дозвуковыми скоростями   (w < a,    < 0)   уравнения будут эллиптического типа; на границе этих областей – скорость звуковая   (w = a,    = 0)   и уравнения будут параболического типа.

Характеристики в физической плоскости. Характеристики в плоскости x, y   определяются из решения уравнения (5.12), в котором знак «+» соответствует характеристикам 1‑го семейства, а знак «–» – характеристикам 2‑го семейства. Величина   1, 2 = dy / dx   определяет угловой коэффициент характеристик этих семейств.

У читывая (5.14) и (5.15), получим:

Х

Рис. 38. Определение угла   :

1‑e  семейство:  1 –  направление   характеристики  в точке  A (x,y),     2 – характеристика с угловым коэффициентом  _1;   2‑е   семейство:   3 – направление характеристики в точке A,   4 –  характеристика с угловым коэффициентом   _2

арактеристики в физической плоскости имеют определенный физический смысл, который можно установить, если определить угол    между вектором скорости   w   в некоторой точке потока и направлением характеристики в той же точке (рис. 38). Этот угол определяется при помощи уравнения (5.16), если отнести его к местной системе координат   x₁, y₁   с началом в точке   A   и с осью   x₁ ,   совпадающей с направлением вектора w.   При таком выборе осей координат   w_x = w, w_y = 0   и, следовательно:

Отсюда видно, что      представляет собой угол Маха.

Таким образом, установлено важное свойство характеристик, заключающееся в том, что в каждой точке, принадлежащей характеристике, угол между направлением касательной к ней и вектором скорости в этой точке равен углу Маха. Следовательно, сама характеристика представляет собой линию слабых возмущений (или линию Маха), имеющую в общем случае форму кривой.

Е сли в некоторой точке физической плоскости известны скорость потока и характеристики в этой точке, вычислив угол Маха.

О тносительно координат   x, y   угловые коэффициенты характеристик будут определены из уравнения

где    – угол наклона вектора скорости к оси  x.

Х арактеристики в плоскости   p, q. Если в уравнении (5.13) величину   y΄ заменить первым корнем уравнения (5.11), равным   y΄ = _1,   то полученное уравнение

б удет представлять 1‑е семейство характеристик в плоскости   p, q. Аналогично уравнение

представляет 2‑е семейство характеристик в той же плоскости.

П реобразуем (5.18) и (5.19). В соответствии со свойством корней квадратного уравнения (5.11),

Р ассматривая 1‑е семейство характеристик и внося в (5.18) соотношение

п олучим

А налогично для характеристики 2‑го семейства:

У читывая (5.17), последние два уравнения запишем так:

где «–» относится к характеристике 1‑го семейства, а «+» – к характеристике 2‑го семейства.

Р ассмотрим уравнения для сопряженных характеристик, в частности для характеристик 1‑го семейства в плоскости   x, y,   и 2‑го семейства в плоскости p, q.   Из (5.17) следует, что для такого элемента характеристики, как прямая в плоскости   x, y,   уравнение имеет вид

где   x₀, y₀   – координаты фиксированной точки;   _1   – угловой коэффициент, рассчитываемый по параметрам газа в этой точке.

Уравнение для элемента характеристики 2‑го семейства в плоскости   p, q запишем, в соответствии с уравнением (5.20), следующим образом:

т . е.

где   q₀, p₀   – координаты фиксированной точки.

Рис. 39. Характеристики в сопряженных плоскостях

Из уравнений видно, что в плоскости   y, x   (рис. 39) наклон прямой определяется угловым коэффициентом   _1,   а в плоскости   p, q   – угловым коэффициентом  – (1 / _1).  Отсюда следует, что сопряженные характеристики в обеих плоскостях перпендикулярны. Указанное свойство позволяет определить направление характеристик в плоскости   p, q,   если известно направление сопряженных характеристик в физической плоскости. Предположим, что в некоторой точке   p (x₀, y₀) плоскости   x, y   известны составляющие скорости   w_x0, w_y0   и значения функций   p₀, q₀.   Элементу характеристики   pN   соответствует элемент характеристики 2‑го семейства – прямая в плоскости   p, q  . Эта прямая перпендикулярна к линии   pN.

В случае потенциального потока плоскость   p, q,   становится плоскостью w_x, w_y   и называется плоскостью годографа скоростей.

72