Раздел 2.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Уравнение неразрывности

Ф ундаментальным законом ньютоновской механики является закон сохранения массы   m   любого индивидуального объема. Это опытно установленный закон природы. Используя понятие индивидуальной производной, можно записать:

В эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно получить, продифференцировав правую часть уравнения (2.1) и используя представление о дивергенции скоростного поля как о скорости относительного изменения объема [см. (1.14)]:

Э то позволит найти уравнение непрерывности в переменных Эйлера:

К такому же выводу можно прийти, записав закон сохранения массы для конечного объема   V   в виде

О существив дифференцирование, получим, как и в предыдущем случае:

Отсюда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получим уравнение (2.2).

В механике сплошной среды различают уравнения двух видов: 1) интегральное, выражающее связи между величинами в некоторых конечных объемах и на ограничивающих их поверхностях; 2) дифференциальное, связывающее значение величин и их производных в одной точке. Примером интегрального уравнения служит (2.3), а дифференциального – (2.2).

Переход от интегрального уравнения к дифференциальному осуществляется с помощью одного из следующих двух приемов: 1) деление обеих частей уравнения на величину объема с последующим «стягиванием» объема к выбранной точке пространства; 2) сведение всех интегралов к одному, объемному, и приравнивание подынтегрального выражения нулю вследствие произвольности объема.

Что касается перехода от дифференциального уравнения к интегральному, то он осуществляется умножением на элемент объема и интегрированием по конечному объему.

Интегральное уравнение имеет преимущество (перед дифференциальным), если входящие в него величины претерпевают внутри среды разрывы непрерывности.

З аменяя в уравнении (2.2) индивидуальную производную известным ее выражением через локальную и конвективную [см. (1.5)], получим

Частные случаи:

1 ) движение установившееся   (  t = 0).   Тогда, исходя из (2.4):

2) жидкость несжимаема   ( = const).   Тогда, исходя из (2.4):

Следовательно, для несжимаемой жидкости скорость изменения элементарного объема равна нулю, т. е. при движении объема несжимаемой жидкости меняется лишь его форма, а не объем.

К роме массы   m   есть и другие (скалярные, векторные или тензорные) величины, остающиеся во время движения постоянными в любом индивидуальном объеме среды. Например, число молекул или атомов в единице объема   n   (концентрация частиц), плотность заряда   e   и т. д. Обозначив плотность такой сохраняемой величины через   f,   можно записать уравнение

Установление тех характеристик, которые сохраняют свою величину в индивидуальном объеме, является одной из основных проблем физики.

Уравнение движения сплошной среды

Р аспределение сил в сплошной среде. В динамике сплошных сред принято выделять два класса действующих на частицы среды сил: 1) объемные (массовые); 2) поверхностные. Силы, распределенные по объему   V, называются объемными силами или массовыми. В отличие от динамики системы дискретных точек в динамике сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностью их распределения в пространстве. Под плотностью распределения объемных сил f   понимают предел отношения главного вектора массовых сил   ΔF,   действующих на элемент массы   Δm,   к этой массе:

О тсюда следует, что объемная сила   δF,   приложенная к элементарному объему   δV,   определяется как

Число различных видов массовых сил невелико. Это сила тяжести   f = g и, вообще, гравитационные силы, электромагнитные силы, силы инерции.

П оверхностные силы аналогично будут задаваться плотностью их распределения по поверхности, или напряжением:

_{___}

где   P   – главный вектор сил, приложенных с одной стороны к малой площадке   S.

Основное различие между плотностью объемных сил  f   и поверхностных  P состоит в том, что вектор  f   является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т. е. образует векторное поле, в то время как вектор  P принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации   S   и, таким образом, векторного поля не образует. Можно сказать, что напряжение представляет функцию двух векторов (вектор‑радиус  r   точки и орт нормали  n   к площадке в выбранной точке).

П

Рис. 4. Вектор напряжения

онятие вектора напряжения. Возьмем в точке   M   сплошной среды площадку   S   (рис. 4), ориентация которой в пространстве определяется ортом нормали   n   к площадке. Условимся различать лицевую и тыльную стороны площадки, причем примем за лицевую ту, которая обращена к концу вектора нормали. Отбросим мысленно часть жидкости с лицевой стороны и заменим ее действие поверхностной силой  P_nS,   где индекс   n   означает, что сила приложена к площадке с ортом нормали   n.   Если, наоборот, отброcить часть жидкости с тыльной стороны, то эквивалентная действию этой отброшенной жидкости сила составила бы   –P_nS.

Д

Рис. 5. Тетраэдр напряжений

окажем, что вектор напряжения  P_n   можно представить как произведение орта нормали  n   площадки и некоторого тензора второго ранга   P, который является функцией только вектор‑радиуса  r.   С этой целью рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр MABC   (рис. 5). Пусть площадь   ABC   равна S_n,   а другие площадки, представляющие проекции   ABC   на координатные плоскости, равны   S_x, S_y, S_z   соответственно (причем индексы   x, y, z   при этих площадках означают ось, перпендикулярную площадке).

Представляя тетраэдр как жидкий, т. е. состоящий из частиц движущейся среды, запишем уравнение движения центра инерции этой системы частиц, масса которых   m:

где  w_c   – вектор ускорения;   P_n, P_x,P_y, P_z   – векторы напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок   S_x, S_y, S_z   (при последних трех членах стоят знаки «–», так как внешние стороны   S_x, S_y, S_z   при принятом направлении   ij, k   оказываются тыльными.)

_. В уравнении (2.7) члены  _w_с m   и  f m   – величины третьего порядка малости, и их можно отбросить. Тогда

У читывая, что

п олучим

и ли (в проекциях на оси прямоугольных координат)

При написании учли правило: 1‑й индекс при напряжении  P   обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка; 2‑й индекс – ось, на которую спроектировано это напряжение.

Проекции  P_xx P_yy, P_zz   векторов напряжения  P_x, P_y, P_z   на нормали к соответствующим площадкам называются нормальными напряжениями, а остальные – касательными напряжениями.

С истема (2.9) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно через проекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам, т. е. через совокупность девяти величин. Этого достаточно для утверждения, что совокупность девяти напряжений образует тензор 2‑го ранга, называемый тензором напряжений:

Т огда вместо (2.9) получим

Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное множество векторов  P_n,   зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, и один тензор   P,   характеризующий напряженность жидкости в данной точке. Компоненты тензора зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет собой физическую величину, выражающую определенное состояние жидкости или газа (их напряженность), и не зависит, конечно, от выбора координат.

Уравнение движения в напряжениях

Уравнение количества движения для одной материальной точки, являющееся прямым обобщением второго закона Ньютона, записывают в следующем виде:

17