Ударная адиабата (энергетические потери в скачке)

Уравнения (3.12) и (3.13) связывают между собой термодинамические параметры и скорость газа. Можно, исключив из них величинуМ₁² · sin², получить соотношение между термодинамическими характеристиками по обе стороны разрыва – так называют уравнениеударной адиабаты, илиадиабаты Гюгонио:

Представим это уравнение графически (см. рис. 11). [Уравнение вертикальной асимптоты₂₁= ( / ( –    Для воздуха   = 1,4;     ₂  ₁  6.]

Таким образом, максимальная плотность, которую можно достигнуть с помощью ударной волны, составляет

Иными словами, сколь велик ни был бы скачок давления в ударной волне, плотность газа в ней не может возрасти больше чем в   (    ( –    раз по сравнению с обычным адиабатическим и изоэнтропическим сжатием газа.

Полученный результат подтверждает высказанное ранее предположение, что в некоторых случаях адиабатические течения не являются изоэнтропическими, т. е. в них имеют место необратимые процессы перехода механической энергии в тепловую. При наличии необратимых процессов в адиабатической системе энтропия должна возрастать. Составим выражение для энтропии в соответствии с (2.50):

К

Рис. 11. Адиабаты:

1 – ударная; 2 – изоэнтропическая

ак видно из рис. 11, при(₂ / ₁) > 1ударная адиабата расположена выше изоэнтропической, поэтому выражение под логарифмом больше единицы иS₂ > S₁.Из сказанного также следует, что скачка разрежения быть не может. В самом деле, при(₂ / ₁) < 1ударная адиабата расположена ниже изоэнтропической и в данном случаеS₂ < S₁,что противоречит второму началу термодинамики.

Чтобы количественно оценить потерю механической энергии движущегося газа при прохождении им скачка, условимся характеризовать механическую энергию полным давлениемP₀,т. е. давлением в адиабатически и изоэнтропически заторможенном газе. При этом за количественную характеристику необратимости процесса прохождения газа через скачок примем величину отношения полных давленийP₂₀за скачком кP₁₀до скачкаP₂₀/P₁₀.   В соответствии с (3.2'),Т₁₀=Т₂₀,Р₂₀/Р₁₀=₂₀ / ₁₀.   Тогда, учитывая (2.51'), получим

Подставим в это выражение формулы (3.12) и (3.14), взятые для прямого скачка ( = 90°):

Рис. 12. Потери энергии в скачке

На рис. 12 представлен график соотношения (3.15') для воздуха   (= 1,4). Как видно из рис. 12, чем больше величина М₁,   тем относительно меньшее давление Р₂₀   можно получить при последующем адиабатическом и изоэнтропическом торможении газа. Причина этого явления –необратимое превращение механической энергии в тепловую. Из рис. 12 также видно, что потери давления в скачке малой интенсивности, т. е. при числе  М₁, близком к

43