Изоэнтропические формулы (газодинамические функции)

Наряду с одной функцией состояния  (энтальпияh)  введем в рассмотрение и другую его функцию – энтропиюS,   определяемую дифференциальным соотношением

где   dq   – элементарный приток тепла.

Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство   dS= 0, т. е. энтропия сохраняет свою величину, то такое движение называетсяизоэнтропическим. Из термодинамики известно, что соотношение удельной энтропии в конечной форме имеет следующий вид (с точностью до константы):

Из (2.50) легко вывести  (при  S = 0)  уравнение изоэнтропической адиабаты, или изоэнтропы (адиабаты Пуассона), описывающее адиабатическое движение идеального совершенного газа:

Вообще говоря, из второго начала термодинамики следует, что энтропия является неубывающей функцией времени. Возрастание энтропии в замкнутой, адиабатической системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, сопровождаемые потерями (например, потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах). Мы будем рассматривать такие потери механической энергии газа при его прохождении сквозь скачок уплотнения. Здесь движение, являясь адиабатическим, окажется неизоэнтропическим.

Использование параметра  M  в изоэнтропических формулах помогает отразить параметрическую связь между температурой, плотностью, давлением и скоростью газа в различных течениях потока при адиабатическом изоэнтропическом движении. Для вывода таких формул воспользуемся уравнением (2.43) в виде

Разделив это уравнение наC_PT,   будем иметь:

Окончательно получимфункцию температуры:

Далее – из уравнений изоэнтропы

атакже из уравнения состояния

получимфункцию давления:

Тогда

т. е.функция плотности

Дляскорости звука

Эти формулы постоянно встречаются при расчетах газовых потоков.

Покажем, что в формулах (2.52) и (2.53) как частные случаи при   M = 0 содержатся формулы несжимаемой жидкости:=₀иP+w²/ 2 = const. Условие   M =w/a= 0   соответствует случаю, когда

при= const,   а неw= 0,   что означало бы отсутствие течения. Разложим правые части (2.52) и (2.53) в степенные ряды при малых   M.   Тогда

Отсюда при   М = 0   получим формулы несжимаемой жидкости. Кроме того, учитывая в приведенных формулах разложения еще и вторые члены, найдемпорядок ошибки, которую делают, рассматривая при малыхМдвижущийся газ как несжимаемую жидкость. Полагая=₀= const,   откидывают по сравнению с единицей члены, старший из которых имеет величину   ½ M². Если, например, допустить относительную ошибку из‑за неучета сжимаемости газа, составляющую   1%,   то это равносильно требованию   ½ M²0,01   или М0,14,   что для воздуха при нормальных условиях   (Т= 288 К;а= 340 м / с)   приводит к ограничению скорости   (w0,14 · 34050 м / с). При скоростиw =100 м / с   ошибка доходит до   4%.   При этом, как видно из предыдущих формул, относительная ошибка для давлений в 2 раза меньше, чем для плотностей.

36