Скорость распространения малых возмущений в жидкости и газе

Чтобы выяснить особенности движения газа очень важно сравнить скорость его движения со скоростью, характерной для данного газа и зависящей от его термодинамического состояния, – т. е. со скоростью распространения малых возмущений.

Под малым возмущением понимают такое изменение начальных параметров среды, при котором абсолютная величина изменения параметра неизмеримо мала по сравнению с его исходным значением, т. е.   P' << P₀, ' << _0(P₀, _0– давление и плотность невозмущенного газа;P', ' – прибавка кP₀  и_0  за счет возмущений). Из курса физики известно, что скорость распространения малых возмущений в газе определяется следующим образом:

Формула (2.46) верна и для движущегося газа, только в этом случае под величиной aследует понимать «местную» скорость распространения малых возмущений относительно движения газа в данной точке потока. К числу наиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых возмущений относится распространение звука, заключающееся, как известно, в распространении волн слабого сжатия и разрежения. В связи с этим величинуaназываютскоростью звука.

Принимая процесс распространения звукаизотермическими учитывая, что при таком процессеP = c,dP / d  c = P /   получим

Если предположить, что процесс распространения звука осуществляется настолько быстро, что можно пренебречь влиянием процесса отвода тепла и считать процесс распространения звука адиабатическим, то

Формула (2.47) была предложена Ньютоном, а формула (2.48) – Лапласом. Эксперименты подтверждают правильность второй из них. Применяя формулу Клайперона, перепишем (2.48) в виде

Для воздуха= 1,4;= 29.   Тогда

при   T= 273 К (0 ºС)a= 332 м / с.

Вкинетической теории газов показано, что скорость звука имеет тот же порядок, что и средняя квадратичная скорость свободного пробега молекул газа: Для воздуха= 1,4,   аасоставляет 70% отv_s.

В модели несжимаемой жидкости   (= const)a,   т. е. всякое изменение давления в одном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте. В одних случаях такое предположение можно принимать в расчет, в других – от него приходится отказываться и пользоваться моделью «сжимаемая жидкость – газ», имеющей конечную скорость распространения звука.

Таким образом, из (2.46) следует, что скорость звука определяет упругое свойство жидкостей и газов. Упругость капельных жидкостей характеризуетсямодулем объемной упругости (модулем сжатия), равного отношению изменения давления к относительному изменению объема:

Так как относительное изменение объема равно относительному изменению плотности, т. е.   – (dV/V) =d/,   то:

Для водыk= 19,6 · 10⁸(H / м²),   тогда

Скорость распространения малых возмущений является важной характеристикой потока сжимаемой среды. В зависимости от того, будут ли скорости движения частиц среды меньше или больше скорости звука, принципиально различными будут и происходящие в среде явления. Это может быть продемонстрировано на следующих двух примерах.

П

Рис. 6. Обтекание дозвуковым потоком

р и м е р  1.  Рассмотрим источник возмущений, расположенный в точке   A₀.   Если на источник набегает дозвуковой поток   (w < a),   то волны будут сноситься вниз по потоку: при этом центр волн перемещается со скоростью   w < a,   а сами волны распространяются со скоростью звука   а.   За некоторое время   t   центр волны сместится на расстояние   wt,   а радиус волны будет   r = at,   причем   at  wt   (рис. 6).  Таким образом, возмущения в дозвуковом потоке распространяются и против течения. При этом область возмущения опережает тело, а форма потока изменяется еще до того, как частицы газа придут в соприкосновение с телом.

Е

Рис. 7. Обтекание сверхзвуковым потоком

сли же скорость  w > a,   то звуковые возмущения будут сноситься вниз по потоку, т. е. сферические волны будут находиться внутри конуса, огибающего сферу (рис. 7). Этот конус называется конусом возмущения (конусом Маха). Область вне конуса не подвергается возмущению телом, ее можно назвать зоной молчания. Возмущения в сверхзвуковом потоке распространяются по линиям, образующим конус возмущения. Эти линии называются линиями возмущения (или характеристиками). Угол    наклона образующей определяется из условия sin  = a / w = 1 / M.   Течения при сверхзвуковом возмущении в отличие от дозвукового потока охватывают область внутри конуса возмущений, т. е. переход скорости звука связан с концентрацией возмущений. Поверхность конуса представляет оптическую неоднородность, достаточно заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта оптическая неоднородность (изменение показателя преломления) объясняется изменением плотности среды под действием сжатия или разрежения в звуковой волне. Измеряя углы Маха по фотоснимкам, можно найти число Маха   (M = 1 / sin ),   а зная скорость звука, – вычислить и абсолютную скорость потока (w = a M).   Заметим, что нормальная составляющая скорости   w_n   равна скорости звука.

Пр и м е р  2.  Рассмотрим истечение газа из баллона большой емкости через суживающийся патрубок в некоторую камеру. Пусть вначале разность давлений между баллоном и камерой была невелика и скорость истечения через патрубок не превосходила скорости звука. Будем теперь медленно понижать давление в камере, тогда скорость истечения   w   начнет повышаться. Создаваемые в камере возмущения (уменьшением давления) будут распространяться против течения из камеры через патрубок в баллон до тех пор, пока скорость в патрубке не достигнет скорости звука. После этого возмущения уже не смогут проникать в баллон, так как они будут сноситься потоком, имеющим ту же скорость, что и скорость распространения возмущений в газе. Продолжающееся понижение давления не отразится на изменении скорости истечения, и она будет постоянна и равна скорости звука   (w = a = const).   Это явление носит название запирания потока. Если где‑нибудь в потоке скорость газа w станет равна местной скорости звука   a, то такая скорость   (w = a*)   называется критической скоростью. Критическими будут и соответствующие значения:   T*,  P*   и      Выразим критическую скорость через параметры торможения, тогда уравнение энергии для критического сечения примет вид

откуда

где   a₀   – скорость звука в адиабатическом и изоэнтропическом заторможенном газе.

Рассмотренные нами два примера показывают, что характер развивающихся в потоке явлений взаимосвязан с величиной отношения скорости в данной точке потока к местной скорости звука. Эта величина называется числом Маха(M =w/a).

Отношение же скорости потока в данной точке к одинаковой для всего потока в целом критической скорости называется скоростным коэффициентом(w/a*).