05 семестр / Лекции и семинары / Лекции (много вордовский файлов) / Осн.ур.,с.17-22

т . е. производная по времени от количества движения материальной точки равна сумме всех сил, действующих на эту точку.

Обобщим теперь это уравнение на случай индивидуального конечного объема   V   сплошной среды, ограниченного поверхностью   S.   Тогда можно записать

т . е. производная по времени количества движения объема   V   сплошной среды равняется сумме всех действующих на него массовых и поверхностных сил. Если на массу в объеме   V,   кроме внешних рассредоточенных сил, действуют еще и внешние сосредоточенные в точке силы, то их сумму следует добавить в правую часть уравнения (2.12).

П ерейдем к преобразованию интеграла от поверхностных сил. По формуле Гаусса – Остроградского,

П одставляя (2.13) в (2.12), получаем основное динамическое уравнение движения сплошной среды в интегральной форме:

Уравнение (2.14) является исходным для любых движений сплошной среды, в том числе и для разрывных движений (когда характеристики движения и состояние сплошной среды не являются всюду в объеме   V   непрерывными функциями координат), и для ударных процессов (когда характеристики движения и состояния в рассматриваемом объеме среды являются разрывными функциями времени).

В частности, в области непрерывных движений интегральная теорема количества движений (2.14) эквивалентна дифференциальному уравнению, которое можно получить из (2.14), приравнивая подынтегральную функцию нулю:

У равнение (2.15) носит название «уравнение динамики в напряжениях». В развернутом виде оно выглядит следующим образом:

Рассмотрим механический смысл входящего в правую часть уравнения (2.15) вектора   (P_x / x + P_y / y + P_z / z).   Выражение, стоящее в правой части (2.16), определяет вектор, называемый дивергенцией (расходимостью) тензора   P,   так что

Ф ормула (2.17) внешне несколько напоминает выражение дивергенции вектора в декартовых координатах:

Однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле (2.17) под знаком производных стоят зависящие от выбора системы координат векторы P_x, P_y, P_z,   а сама величина   Div P   представляет собой физический вектор; в формуле же   diva   под знаком производных стоят алгебраические величины проекций вектора   a   и   diva   представляет собой физический скаляр.

С учетом (2.17) основное уравнение динамики сплошной среды (2.15) запишем в виде

Уравнение движения вязкой жидкости и газа (уравнение Навье–Стокса)

О сновное отличие реальных жидкостей и газов от идеальных заключается в наличии внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности. Свойство идеальности жидкости или газа выражается в отсутствии касательных напряжений в них, т. е.

Т о же допущение отсутствия касательных напряжений на наклонной к координатным осям площадке дает

где   P_nx   – проекция на ось   x   напряжения, приложенного к площадке с ортом нормали   n.

Т о есть (в общем виде)

О тсюда, согласно системе равенств (2.9), в которой   P_xy = P_yx = P_yz = … = 0, получим

т . е. нормальное напряжение в данной точке не зависит от направления площадки, к которой оно приложено. Обозначим общее значение нормальных напряжений в данной точке через   –p.   Скалярную величину   p   будем называть давлением. Тогда в векторной форме

В итоге тензор напряжений   P   в идеальной жидкости имеет таблицу

где       – тензорная единица (этот тензор обладает сферической симметрией).

Уравнение (2.19) представляет собой простейший пример реологического уравнения среды (в данном случае для идеальной жидкости). Под реологическими уравнениями понимают уравнения, связывающие компоненты тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций.

С ледующим в порядке сложности после (2.19) реологическим уравнением является уравнение текучести вязкой жидкости (в простейшем случае прямолинейного слоистого течения), отвечающее известному закону Ньютона:

_.

где   i  j   (   – коэффициент динамической вязкости);   S_ij   – скорость деформации.

Этот реологический закон утверждает существование простой пропорциональности между касательными напряжениями, действующими в плоскостях соприкосновения слоев жидкости, и производными от скорости по направлениям, нормальным к этим плоскостям.

Реологическое уравнение (2.20) представляет собой частный случай более общего закона, соответствующего любому пространственному движению вязкой жидкости, – закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скорости деформации. Этот закон, хорошо оправдываемый на практике, носит название обобщенного закона вязкости Ньютона. Для изотропной среды его записывают в следующем виде:

г де   a   и   b   – скаляры;      – тензорная единица.

Для того чтобы уравнение (2.21) отражало собой линейную связь между компонентами тензора напряжений и тензора скорости деформации, скаляр a не должен зависеть от компонент тензоров   P   и   Ś   и поэтому является физической константой среды. Так как уравнение (2.21) совпадает со своим частным случаем (2.20), то, с учетом соотношений (1.13),   a = 2.

В отличие от   a   скаляр   b   может быть связан линейным образом с компонентами тензоров   P   и   Ś,   но, в силу изотропности, только через скалярные линейные комбинации компонент этих тензоров (т. е. через их линейные инварианты).

К ак известно, из тензорного исчисления, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна (т. е. неизменна) по отношению к любому повороту осей координат. То есть в выражение скаляра   b   могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора 2‑го ранга является его линейный инвариант, равный сумме диагональных компонент   (P_xx + P_yy + P_zz).   При этом линейный инвариант тензора скоростей деформации составляет сумма

П ринимая как наиболее общую связь между величиной   b   и этими инвариантами в виде

где   b΄, b΄΄, b΄΄΄   – некоторые константы,

п олучим, в соответствии с (2.21),

В зяв сумму трех диагональных компонент левой и правой части (2.22) – сумма диагональных компонент      – запишем, что

П риведя подобные члены, получим

П редположим, что среда находится в покое, тогда   divw = 0,   а сумма нормальных напряжений, как известно из гидростатики, будет

где   P₀   – гидростатическое давление.

Т огда равенство (2.23) будет иметь вид

И з этого равенства в силу произвольности величин гидростатического давления следует, что

Т еперь из равенства (2.23), верного при любой   divw  0,   видно, что Итак, общий вид линейной связи (2.22) между тензорами напряжений и скоростей деформаций будет таким:

П реобразуем выражение (2.24). В динамике вязкой сжимаемой жидкости принимается дополнительная гипотеза к обобщенному закону Ньютона. Согласно этой гипотезе, среднее арифметическое трех нормальных напряжений равно сумме двух членов: 1‑го – давления в данной точке, не зависящего от скорости объемной деформации; 2‑го – пропорционального скорости объемной деформации. То есть

С учетом этого уравнение связи будет иметь вид

где   '   – второй коэффициент вязкости.

В кинетической теории газов доказывается, что для одноатомного совершенного газа отношение   ' /    имеет порядок квадрата отношения объема, занятого молекулами, к объему газа, т. е. является малой величиной. Для весьма плотного газа (при очень высоком давлении) допущение   '  0 несправедливо.

В соответствии с уравнением неразрывности,   divw = (1 /  (d / dt) характеризует относительную скорость изменения плотности в точке. Поэтому введение второй вязкости позволяет учесть зависимость давления от скорости изменения плотности, т. е. тот факт, что при изменении плотности нужно некоторое время для установления термодинамического равновесия. Это время называют временем релаксации. Таким образом, вторая вязкость проявляется при быстро развивающихся процессах в газе (взрыв, прохождение газа при скачке уплотнения), когда время релаксации велико по сравнению с временем изменения плотности.

Т еперь, подставив уравнение связи (2.25) в основное уравнение динамики (2.18) и проведя векторные операции, получим основное уравнение Навье–Стокса динамики вязкого газа:

так как   Div ( = grad 

П осле преобразований из (2.26) можно получить уравнение Навье–Стокса в компактном виде:

Правая часть уравнения (2.26'), поделенная на плотность, показывает сумму ускорений, обусловленных действием соответствующей силы. А именно:

1)f   – ускорение частицы сплошной среды, обусловленное действием массовых сил;

2) (1 /  grad p   – ускорение, обусловленное разностью гидродинамических давлений;

3) (1 /  ( grad (divw)   – ускорение жидкости, обусловленное ее сжимаемостью;

4) (1 / )  Div Ś   – ускорение, обусловленное вихревой составляющей скорости.

Рассмотрим частные случаи уравнения Навье–Стокса (см. пп. 1–2).

1. Жидкость идеальная (  

Это – уравнение Эйлера.

2. Жидкость идеальная, движение стационарное, одномерное, объемные силы малы:

Э то – уравнение Бернулли в дифференциальной форме. В интегральной форме оно имеет вид:

Решение уравнения Навье–Стокса даже для несжимаемой жидкости (divw = 0) представляет собой очень сложную задачу. До сих пор удалось точно решить это уравнение лишь в некоторых простейших случаях. Например: для течения вязкой жидкости по прямой трубе (задача Пуазейля); для течения между двумя плоскими параллельными стенками, из которых одна неподвижна, а другая движется (задача Куэтта). Обычно задачи вязкой жидкости решают приближенно, путем отбрасывания некоторых членов в уравнении Навье–Стокса, которые в тех или иных конкретных условиях могут быть малы по сравнению с другими членами.

Закон изменения кинетической энергии и общий закон сохранения энергии в механике сплошных сред

Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального жидкого объема должна, как известно из теоретической механики, формулироваться так: производная по времени от кинетической энергии движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних (объемных и поверхностных) и внутренних сил. Отсюда следует, что, на основе общего закона сохранения энергии, теорему об изменении кинетической энергии движущегося индивидуального объема сплошной среды в интегральной форме можно записать так:

где   N_in   – плотность распределения мощности внутренних сил.

П оверхностный интеграл в правой части, согласно (2.11) и формуле Гаусса—Остроградского, преобразуется следующим образом:

П одставляя все это в (2.30) и исключая интегрирование по произвольному объему, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

С равним уравнение (2.31) с равенством

с оставленным из уравнения (2.18) путем скалярного умножения обеих его частей на вектор скорости  w.   Почленное вычитание двух последних уравнений дает выражение для плотности распределения мощности внутренних сил:

Упростим (2.32):

23