Вихревая линия. Теоремы о вихрях

Если в пространстве, занятом жидкостью, существуют области, в которых ω 0,   т. е. внутри их имеет место вращение частиц жидкости, то движение в таких областях называетсявихревым(например, в области пограничного слоя, образующегося вокруг твердого тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости). В пограничном слое по направлению нормали к поверхности тела скорость резко возрастает, и поэтому в нем   ω0   (∂w / ∂n0).

Линия называетсявихревой, когда в каждой ее точке касательная совпадает с направлением вектора угловой скоростиω.   Дифференциальное уравнение вихревой линии получается из соотношенияωdl = 0   и имеет вид

Вихревая трубкаобразуется, если через все точки замкнутой кривойC(не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая угловой скорости равна нулю.

Потоком вектора угловой скоростиJ_через поверхностьназывают интеграл:

где   ω_n   – проекция угловой скорости вращения на нормаль к поверхности   .

Другая теорема Гельмгольца – о вихрях: поток вектора угловой скорости через замкнутую поверхность всегда равен нулю. Докажем ее.

Действительно, путем непосредственных вычислений из формул (1.11) получим, с одной стороны, что

ас другой, – что если поверхностьзамкнутая, то, согласно теореме Остроградского (о преобразовании объемного интеграла в поверхностный),

где   V   – объем, ограниченный поверхностью   .

Но тогда, согласно (1.18), находим, что

Рис. 3. Вихревая трубка

Из формулы (1.19) вытекает важное свойство вихревых трубок. Выделим в вихревой трубке некоторую замкнутую поверхность (рис. 3), образованную двумя любыми поперечными сечениями  (₁  и ₂)   и боковой поверхностью. Так как поток вектора угловой скорости по боковой поверхности равен нулю, то, согласно (1.19):

Отсюда, вследствие произвольного выбора сечений   ₁и₂ ,   получаем, что поток вектора угловой скорости в данный момент времени по длине элементарной вихревой трубки не меняется. Следовательно, этот поток есть величина, характерная для всей вихревой трубки, и ее (величину) называютинтенсивностью (или напряжением)вихревой трубки.

Если величина вектора угловой скорости постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то из (1.20) получим

ω_1n₁= ω_2n₂= ω_in_i= const.

На основе этого сделаем следующий вывод: сечение вихревой трубки не равняется нулю, так как в подобном случае   ω ,   что физически неверно. Таким образом, вихревая трубка не обрывается внутри среды. Но, однако, можно выделить только четыре типа вихревых трубок, т. е. когда «вихревой шнур» (вихревая трубка): 1) начинается и заканчивается на свободной поверхности жидкости; 2) начинается на свободной поверхности жидкости, а заканчивается на твердой стенке; 3) начинается и заканчивается на твердой стенке; 4) является замкнутым.

В идеальной жидкости вихри не могут изменять свою интенсивность, они как бы «обречены» существовать вечно, не имея возможности возникать и вырождаться. В реальной жидкости (из-за трения) вихри зарождаются, а затем диффундируют, т. е. вырождаются.

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно определять скорости частиц жидкости. Поэтому возникает вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости. Для решения данного вопроса введем характерную для поля скоростей величину – циркуляцию скорости вдоль некоторой линии.

Циркуляцией векторапо некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру:

Тогда связь между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей дается известной теоремой Стокса:интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку:

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение скорости специальными приборами не представляет трудности, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл по замкнутому контуру, является операцией более точной, чем дифференцирование распределения скоростей  (необходимое для вычисления   rotw)   и последующее суммирование.

Из этой теоремы вытекает важное следствие: если в какой-либо области течение безвихревое   (w= 0,   rotw= 0),   т. е. потенциальное, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в этой области, равно нулю  (Г = 0).  Из рассмотренной теоремы, кроме того, следует, что конечная циркуляция скорости определяетэффект действия вихрейна поле скоростей в потоке жидкости.