Раздел 1.

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Задание движения сплошной среды. Индивидуальная и местная производные

По определению, знать движение сплошной среды – значит знать движение всех ее точек. Индивидуальные точки сплошной среды можно задавать значениями их начальных координат. Координаты точек в начальные моменты времени   t₀будем обозначать:x₀,y₀,z₀,   а координаты точек в любой момент времени –   x,y,z.  Для любой точки, выделенной координатами  x₀,y₀,z₀, можно написать закон движения:

x=x(t,x0,y0, z0),
y=y(t,x0,y0, z0),	(1.1)
z=z(t,x0,y0, z0).

Если в (1.1)   x₀,y₀, z₀   – фиксированы, а   t   – переменно, то мы получим закон движения одной точки среды. Если   x₀,y₀,z₀   – переменны, а  t   – фиксировано, то мы получим распределение точек среды в пространстве в данный момент времени.

Координаты   x₀,y₀, z₀   (индивидуализирующие точки среды) и время  t являютсяпеременными Лагранжа.

Предположим теперь, что нас интересует не само движение индивидуальных точек среды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной точке пространства. Пусть наше внимание концентрируется на определенной точке пространства, в которую попадают различные частицы сплошной среды. Это составляет суть точки зрения Эйлерана изучение движения среды. Геометрические координаты пространства  x, y, z   и время   t –переменные Эйлера. Движение среды, по Эйлеру, задается полем скоростей:

wx=wx(t, x, y, z),
wy=wy (t, x, y, z),	(1.2)
wz = wz (t, x, y, z)

(w =i w_x +j w_y + w_z   – задание картины поля скоростей).

Если в (1.2)   x, y, z   – фиксированы, а  t   – переменно, то мы получим изменение со временем скорости в данной точке пространства для различных частиц, попадающих в эту точку. При фиксированном t  и переменных x, y, z эти функции дают распределение скоростей в определенный момент времени.

Распределение скоростей можно задать с точки зрения как Лагранжа [w(t,x₀, y₀, z₀)],  так и Эйлера   [w (t, x, y, z)].  Если распределение скорости задано по Лагранжу, то изменение скорости  w   в единицу времени   t   частицы среды найти просто. Оно будет равно производной   dw / dt.

Как вычислить ту же величину, если распределение скорости задано по Эйлеру:   w (t, x, y, z)?  Очевидно, что для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа:

w (t, x, y, z) = w t, x (t, x₀, y₀, z₀), y (t,x₀, y₀, z₀), z (t,x₀,y₀, z₀)

–и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Тогда

где   x / t;   y / t;   z / t   – производные, берутся при постоянных   x₀,  y₀,  z₀    и, следовательно, являются компонентами скорости w_x, w_y, w_z.

Поэтому

Таким образом, мы получили выражениевектора ускоренияв эйлеровых переменных. Вводя некоторый условный вектор с проекциями

представим (1.3) так:

Производная   dw / dt,   характеризующая изменение скорости со временем в данной точке сплошной среды, называетсяполной, илииндивидуальной, илисубстанциональной.

Производная   w / t,   характеризующая изменение скорости в данной точке пространства   x, y, z,  называетсяместной, илилокальной. Она характеризует нестационарность среды (если среда стационарна, то w / t = 0).

Величина   (w)w,   образующаяся за счет изменения координат точки, соответствующей передвижению (конвекции) ее в поле физической величины, называетсяконвективной производной. Она характеризует неоднородность поля в данный момент времени.

Вобщем случае выражение

можно рассматривать как некий оператор индивидуальной производной. Этот оператор может применяться к скалярным функциям, а также к тензорным величинам, связанным с движущейся частицей.