Площадь поверхности. Пример (площадь сферы)

Площадь куска поверхности будем определять как сумму элементарных площадей дифференциально малых ее кусочков. Площадь каждого такого кусочка d определим как модуль векторного произведения

d=|r_udur_vdv|=|r_ur_v|dudv= dudv.

Тогда полная площадь всего куска поверхности, соответствующего области D на плоскости u, v будет представлена двойным интегралом

=d= dudv,

который вычисляется путем сведения к повторному интегралу.

В качестве примера вычислим площадь сферы, радиуса R. Параметрические уравнения сферы несложно записать в географических координатах с долготой u и широтой v

x=Rcosvcosu, y=Rcosvsinu, z=Rsinv.

r_u=(−Rcosvsinu, Rcosvcosu, 0), r_v=(−Rsinvcosu, −Rsinvsinu, Rcosv).

Тогда E=R²cos²v, G=R², F=0,

= dudv=R² dudv=8R² =4R².

Внутренняя геометрия и ее элементы. (?Лучше это читать после полной (нормальной) и геодезической кривизн). Изометрия или изгибание как преобразование координат точек поверхности. Изгибание как механическое формоизменение

Совокупность объектов и свойств, определяемых коэффициентами первой квадратичной формы, их производными и значениями внутренних координат u, v, составляет так называемую внутреннюю геометрию. Элементами внутренней геометрии являются длины, углы, площадь и некоторые другие, как, например, геодезическая кривизна и геодезические линии, которые будут рассматриваться далее.

Если между точками двух поверхностей установлено некоторое соответствие и первая квадратичная форма в соответствующих точках совпадает, то эти поверхности называются изометричными, а преобразования координат, с помощью которого устанавливается такое соответствие, называется изометрией или изгибом. Изгибом также называется процесс формоизменения поверхностей, при котором сохраняются длины, углы и площади, т.е. отсутствуют сжатия, растяжения, разрывы, складки и изломы. Здесь сознательно не используется термин деформация, под которым понимается обычно формоизменение, включающее растяжения, сжатия и пр.

21. Вторая квадратичная форма поверхности. Триэдр Дарбу? Нормальная и геодезическая кривизны кривой на поверхности. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении на ее касательной плоскости. Теорема Менье

Напомним, что вектором кривизны кривой называется вектор r"(s)=k=k, центром кривизны называется точка, указываемая вектором R=(1/k), центр кривизны окружности совпадает с ее центром. Соприкасающейся окружностью для данной окружности есть сама эта окружность с тем же центром.

Второй квадратичной формой поверхности в некоторой данной ее точке называется проекция второго дифференциала радиус-вектора r точек кривой r=r(u(p),v(p))=r(p) на поверхности на нормаль поверхности в данной точке, т.е. скалярное произведение второго дифференциала радиус-вектора r и орта n нормали поверхности.

(0II=(d²rn)=(r_uudu²+2r_uvdudv+r_vvdv²)n=Ldu²+2Mdudv+Ndv², (0)2.3( 2 .3)

L=(r_uun)=(r_uur_ur_v)/|r_ur_v|=(r_uur_ur_v)/D₁^1/2, (0(0)

M=(r_uvn)=(r_uvr_ur_v)/D₁^1/2,

N=(r_vvn)=(r_vvr_ur_v)/D₁^1/2, 2.4( 2 .4)

(D₁=|r_ur_v|²=EG−F² – дискриминант 1-й кв. формы).

В книге J. Struik [⁵, с. 74], а также в [? Это или Фавар или [⁶, с. 81]?, с. 303] и в [⁷, с. 81] второй квадратичной формой называют также величину −drdn=−(1/|r_ur_v|)d(r_ur_v)dr=−(1/|r_ur_v|)… , что то же самое, в силу равенства (d²rn)=−drdn, которое следует в результате дифференцирования тождеств (drn)=0. Однако, при таком определении просматривается некоторое единообразие с записью первой квадратичной формы I=ds²=(drdr).

Дифференцируя по u и по v очевидные равенства (r_un)=(r_vn)=0, получаем также

(0L=(r_uun)=−(r_un_u), M=(r_uvn)=−(r_un_v)=−(r_vn_u), N=(r_vvn)=−(r_vn_v). (0)(2.5( 2 .5)

Нормальной кривизной k_n кривой на поверхности называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормаль поверхности. Получим формулу для вычисления нормальной кривизны

k_n=(kn)=k(n)=kcos=(r²(s)n)=(d²r/ds²n)=(d²rn)/ds²=

=(r_uudu²+2r_uvdudv+r_vvdv²+r_ud²u+r_vd²v)n/ds²= (2.6( 2 .6)

=(Ldu²+2Mdudv+Ndv²)/ds²=(Ldu²+2Mdudv+Ndv²)/(Edu²+2Fdudv+Gdv²)=II/I.

Здесь  – это угол между ортом  главной нормали кривой и ортом n нормали поверхности.

Геодезической кривизной k_g кривой на поверхности называется проекция вектора кривизны k кривой на касательную плоскость поверхности в данной ее точке.

Введем единичный вектор b=n, который по свойству векторного произведения ортогонален орту касательной  кривой и направляющему вектору n касательной плоскости поверхности и лежит, следовательно в этой касательной плоскости.

Действительно. Так как bn, то этот вектор b лежит в касательной плоскости, а так как b, , n, то векторы , b, n компланарны и, следовательно, вектор  (и k=k) лежит в плоскости (b, n), перпендикулярной касательной плоскости.

Фактически вектор b есть нормированная составляющая вектора  на направление, ортогональное орту n нормали поверхности

b=−(n)n/sin.

Теперь проекцию k_g вектора кривизны k на касательную плоскость можно записать как скалярное произведение (kb) и значит для геодезической кривизны k_g получаем

k_g=(kb)=−k((n)n)/cos=k(n)²/sin=ksin²/sin=ksin. (1)(2.7( 2 .7)

Или так. Направляющим вектором касательной плоскости является орт n нормали поверхности. Поэтому ортогональная этому орту составляющая вектора k кривизны кривой будет лежать в касательной плоскости и будет равна −(kn)n.

Найдем проекцию этой составляющей на какое-нибудь направление b, коллинеарное данному, но выраженное через другие векторы. Для этого преобразуем данное выражение, например так

−(kn)n=−k(()n)n=k(n())n=k((n)−(n))n=k(−(n))n=

=−k(n)(n)=k(n)(n).

Таким образом, искомое направление коллинеарно вектору (n), который и обозначим через b. Это видно также из того, что в силу перпендикулярности вектора  векторам n, , вектор kn=k(n) коллинеарен  и, следовательно, вектор −(kn)n коллинеарен вектору b=n.

Правая тройка векторов , b, n образует так называемый триэдр Дарбу на поверхности.